πを計算する方法

共同執筆者 wikiHow編集チーム

この記事には:円の数値を使ってπを計算する無限級数を使用してπを計算するビュフォンの針の問題を使ってπを計算する極限値を使ってπを計算する逆三角関数を使用する6 出典

パイ(π)は数学において最も大切で魅力的な数字の一つです。約3.14という定数で、円の半径、直径から円周を計算するときに使用します。πは無理数、つまり循環することなく無限に小数点が続く数字です。[1] そのため、計算は簡単ではありませんが、正確な計算結果を出すのは不可能ではありません。

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円の数値を使ってπを計算する

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    必ず完全な円を使用しましょう。 この方法は楕円形など正円以外は使えません。円は、平面上の一つの点から等しい距離にある点の集合と定義されます。瓶の蓋は家庭にあるもので、使いやすいでしょう。正確なπの値を計算するには、とても細い紐状のものが必要になるので、計算できるのはだいたいのπの値であると考えた方がよいでしょう。とても鋭く削った鉛筆の芯でも、正確な値を出すのには太すぎるのです。
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    なるべく正確に円周を測りましょう。円周とは円の周りの長さのことです。曲線なので、測るのは難しいかもしれません(だからπが重要なのです)。
    • なるべく正確に円に沿って紐を巻きます。円を一周したところで紐が重なる部分に印をつけ、その長さを定規で測ります。
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    円の直径を測ります。円の直径とは、中心を通って、円の端から端までの長さのことです。
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    方程式を使います。円周は、C= π x d = 2 x π x rで求めることができます。つまりπは円周を円の直径で割ると計算できます。計算機に入力すると約3.14になるはずです。[2]
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    いくつかの円で同じ計算をし、計算結果の平均を出してみましょう。さらに正確な結果が出るはずです。この方法で出した計算結果では、どの円でも正確な値が出せるわけではありませんが、何度も繰り返すうち、πの正確な計算結果に近づいていきます。

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無限級数を使用してπを計算する

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    ライプニッツの公式を使用します。数学者達は四則計算を無限回数行うことで、無理数であるπを求めることができるという発見をしました。この計算は複雑すぎて、スーパーコンピューターでないと結果を出せないものもあります。その中でも、一番単純なのがライプニッツの公式です。効率的ではないものの、何度も繰り返すうちにπの正確な値へと近づいていきます。5万回の計算を繰り返してやっと、たどり着くのはわずか小数点5位までのπの値です。[3] こちらが公式です。
    • π = (4/1) - (4/3) + (4/5) - (4/7) + (4/9) - (4/11) + (4/13) - (4/15) ...
    • 4から3分の4を引いて、5分の4を足します、そこから、7分の4を引き、というように、奇数を4で割った分数を足したり引いたりを繰り返していきます。何度も続けていくうちに、だんだんπに近づいていきます。
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    ニーラカンタの公式も試してみましょう。こちらも無限に続くπの計算方法として理解しやすいものです。ライプニッツの公式より複雑ですが、速くπの値に収束します。[4]
    • π = 3 + 4/(2x3x4) - 4/(4x5x6) + 4/(6x7x8) - 4/(8x9x10) + 4/(10x11x12) - 4/(12x13x14) ...
    • この公式では、4を3つ続く整数の乗で割った数を3に足したり引いたりを繰り返します。分母の3つ続く整数は毎回少しずつ増えていきます。分母の3つの数は前の分数の分母の数の一番大きい数から始まり1ずつ増えていきます。何度か繰り返すだけで、かなりπの値に近づくことができます。

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ビュフォンの針の問題を使ってπを計算する

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    細長い物体を投げてπの値を計算する実験をしてみましょう。 ビュフォンの針という問題に対する思考実験で、この方法を使ってπを求められることが分かりました。[5]これは、平行に並んだ線のある床に針(形が均一の細長い物体)を投げた時、線の間に落ちるか、線をまたいで落ちるか、についてどのような傾向が見られるかを研究するものです。線の間の距離が針の長さと同じ場合に、針が線と交差する確率から、πの値を出すことができることがわかりました。針ではなくソーセージを使っても実験できます。
    • 科学者や数学者は、未だπを正確に計算できる程細い紐状の素材を見つけられていません。[6]

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極限値を使ってπを計算する

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    なるべく大きな数字を選びましょう。数字が大きいほど、正確な値を出すことができます。
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    選んだ数字をXとし、πを計算する公式X x sin(180 / X) に挿入します。手持ちの計算機が度数計算に設定されているかどうか確認しておきましょう。この方法が極限値を使用するといわれるのは、結果がπに収束されるからです。xの値を大きくすればするほど、πの値に近づいていきます。

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逆三角関数を使用する

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    -1から1の間で好きな数字を選びます。アークサイン(サインの逆関数)は1より大きい、または-1より小さい数で表されるからです。
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    次の公式に数字をあてはめて計算すると、結果はπにおおよそ近い数字になります。
    • π = 2 x (Arcsin(sqrt(1 - x^2)) + abs(Arcsin(x)))
      • Arcsin:サインの逆関数をラジアン数で表したもの
      • Sqrt:ルートの意味
      • Abs:絶対値
      • x^2:乗数(ここではxの二乗)

ポイント

  • πの計算は楽しく挑戦できますが、果てしない計算をしても得られる結果はわずかです。天体物理学者は「宇宙の大きさを原子の精度で知るためには、πは小数点以下39桁あればよい」と言っているほどです。

記事の情報

この記事は、経験豊富なwikiHowの編集者と調査員から成るチームによって執筆されています。調査員チームは内容の正確性と網羅性を確認しています。

カテゴリ: 数学

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