三角形の外周を求める方法

共著者 : Grace Imson, MA

三角形の外周を求めるとは、3辺の長さの合計を求めるということです。^{[1]
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出典文献}3辺全ての長さを単純に足していくというのが基本ですが、自分で辺の長さを求めなければならない事もあります。この記事では、まず3辺の長さが既に分かっている時の外周の求め方を紹介します。次に、2辺の長さしか分かっていない直角三角形の外周を求める方法についても説明していきます。最後に、2辺の長さと、その間の角度が分かっている場合に、余弦定理を用いて3辺の長さを算出する方法も参考にしてみましょう。

方法 1

方法 1 の 3:
3辺の長さが全て分かっている場合

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計算式を覚えておく　三角形の辺がそれぞれ、a、 b そして cの場合、外周はP（外周） = a + b + cという計算式で求めることができます。
- この計算式は、3辺をすべて足す事で外周が求められるということを意味しています。
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与えられた三角形の辺の長さを把握する　この場合、a = 5、 b = 5、そしc = 5となります。
- つまり、3辺の長さが等しいので、これは正三角形です。ただし、正三角形でもそうでなくても、この計算式は変わりません。
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3辺の長さを足して外周を求める　上記の正三角形の3辺を足しましょう。 5 + 5 + 5 = 15となり、P（外周） = 15となります。
- 同様にa = 4、 b = 3、さらにc=5という三角形の場合、 P = 3 + 4 + 5という計算式になり、外周は12です。
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最後に単位を合わせる　3辺がセンチメートル単位である場合は、答えの単位も合わせるようにしましょう。それ以外の特定の単位を基準に長さが与えられている場合も、答えの単位をそれに合わせましょう。
- この正三角形の例では、それぞれの辺の長さが５センチメートルなので、答えも15センチメートルとなります。
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方法 2

方法 2 の 3:
直角三角形の2辺の情報を元に外周を求める

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直角三角形を理解する　直角三角形とは、角の1つが直角（90度）になっている状態を意味しています。その直角の反対側にある辺は常に3辺の中で最も長く、斜辺と呼ばれています。直角三角形は算数や数学の問題に登場することも多いものの、辺の長さを求める公式があるので心配することはありません。
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ピタゴラスの定理を思い出す　ピタゴラスの定理とは、直角三角形における辺aとb、さらに斜辺cの関係をa² + b² = c²というように表したものです。^{[2]
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出典文献}
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辺にa、b、そして cを割りあてる　最も長い辺は斜辺と呼ばれ、直角の反対側に位置しています。斜辺は常に cとしましょう。それ以外の辺をそれぞれ a、bとします。どちらがaで、どちらがbでも、最終的な答えは一緒になるので問題ありません。
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辺の長さをピタゴラスの定理に当てはめる　ピタゴラスの定理の公式は a² + b² = c²です。それぞれの辺に実際の数字を照合し、正しく当てはめましょう。
- 例えば、a = 3 でb = 4である場合、3² + 4² = c²となります。
- また、a = 6、さらに斜辺が c = 10で、bの長さが不明な場合、 6² + b² = 10²となります。
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計算をして不明な辺の長さを割り出す　まず明らかになっている辺の長さを2乗する必要があります（例えば3² = 3 x 3 = 9）。斜辺の長さを求める必要がある場合は、2辺の長さを足し、さらに2乗にしましょう。斜辺でない辺の長さを求める必要がある場合は、簡単な引き算を行い、さらに2乗しましょう。
- 既出の例にあるように斜辺の長さを求める必要がある場合、 3² + 4² = c² という計算式となり 25= c²となります。最後に平方根を外すので、 c = 5となります。
- 同様に、6² + b² = 10²の場合は 36 + b² = 100となります。次に両側から36を差し引き、 b² = 64とします。最後に平方根を外し、 b = 8となります。
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3辺の長さを足し、外周を算出する　 P = a + b + cという計算式を思い出しましょう。 a、 b そして c全ての長さが分かったので、全て足してみましょう。
- 1つ目の例の場合は、P = 3 + 4 + 5となり、答えは12です。
- 2つ目の例の場合は、P = 6 + 8 + 10となり、答えは 24です。
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方法 3

方法 3 の 3:
余弦定理を元に外周を求める

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定理を理解する　余弦（コサイン）定理を理解しておくと、いかなる三角形でも2つの辺の長さと、その間の角度が分かっていれば外周を算出することができます。この法則はどのような三角形でも当てはめることができ、とても便利です。余弦定理によれば、3つの辺 a、 b、そして cと、それぞれの辺と向かい合った角度 A、 B、 Cがある場合、 c² = a² + b² - 2ab cos(C)となります。^{[3]
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出典文献}^{[4]
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出典文献}
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与えられた三角形を見てアルファベットを当てはめる　長さが分かっている辺の1つをまずaとして、反対側の角度をAとしましょう。長さが判明している2つ目の辺をb、その反対側に位置している角をBとしましょう。同様に3つ目の角度をC、それに対する長さが不明の辺をcとしましょう。外周を求めるには、このcの長さが必要となります。
- 例えば、2つの辺の長さがそれぞれ10と12、その間にある角の角度が97度であると仮定しましょう。この場合、a = 10、b = 12、そしてC = 97°というようになります。
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分かっている数値を計算式に当てはめる　まずaとbを2乗し、さらに足しましょう。電卓のコサイン機能（cos）を使ってCの余弦を求めましょう。オンライン上の電卓を使っても良いでしょう。^{[5]
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出典文献}cos(C) を2ab と掛け、算出された数字をa² + b²の合計から差し引きます。これが c²となります。最後に平方根を外すと、 cの長さが求められます。既出の三角形を用いて試してみましょう。
- c² = 10² + 12² - 2 × 10 × 12 × cos(97)
- c² = 100 + 144 – (240 × －0.12187) （コサインは小数第5位になるよう四捨五入しましょう。）
- c² = 244 – (－29.25)
- c² = 244 + 29.25 （cos(C)が負の数である場合、マイナス記号を正しく処理しましょう。）
- c² = 273.25
- c = 16.53
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判明したｃの長さを使って三角形の外周を求める　P = a + b + cという公式を思い出しましょう。cの長さを既に分かっていたaとbの長さと一緒に計算式に当てはめてみましょう。
- 上記の例題であれば、10 + 12 + 16.53 = 38.53となり無事に外周を求めることができました！
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