三角形の面積を計算する方法

三角形の面積を求めるには、底辺に高さを掛けて2で割るのが最も一般的です。しかし、どの値が分かっているかによって、三角形の面積を求める公式は他にもたくさんあります。例えば、辺の長さと角度が分かれば、高さが分からなくても面積を求めることができます。

方法 1

方法 1 の 4:

底辺と高さを使う

1
三角形の底辺と高さを求める　「底辺」は三角形の辺のひとつで、「高さ」は三角形の一番高い地点までの長さです。高さは底辺から向かい側の頂点に垂直線を引いて求めます。高さの値が示されていない場合は、自身で計測しましょう。
- 例えば、底辺が5cmで高さが3cm の三角形があるとします。
2
三角形の面積を求める公式　公式は ${\text{Area}}={\frac {1}{2}}(bh)$ で、Areaは面積、 $b$ は底辺の長さ、 $h$ は高さを表します。^{[1]
X
出典文献}
3
底辺と高さの値を公式に当てはめる　2つの値を掛け合わせ、算出した数値に ${\frac {1}{2}}$ ${\frac {1}{2}}$ を掛けます。これで三角形の面積が求められます。
- 底辺が5cm、高さが3cm の三角形の場合、計算式は以下のようになります：
  ${\text{Area}}={\frac {1}{2}}(bh)$
  ${\text{Area}}={\frac {1}{2}}(5)(3)$
  ${\text{Area}}={\frac {1}{2}}(15)$
  ${\text{Area}}=7.5$
  したがって、底辺が5cm、高さが3cm の三角形の面積は7.5平方センチメートルです。
4
直角三角形の面積を求める　直角三角形の2辺は直角を成すため、おのずと1辺が高さに、もう1辺が底辺になります。そのため、2辺の長さが分かれば、それが底辺と高さの値になります。したがって、 ${\text{Area}}={\frac {1}{2}}(bh)$ ${\text{Area}}={\frac {1}{2}}(bh)$ の公式で面積を求められます。
- また、どちらか1辺の長さが分からない場合でも、斜辺の長さが分かれば、この公式を使うことができます。斜辺は直角と向かい合った一番長い辺です。長さが分からない辺は三平方の定理 ( $a^{2}+b^{2}=c^{2}$ )を使って求めることができます。
- 例えば、ある直角三角形の斜辺をc、高さと底辺にあたる他の2辺をaとbとします。斜辺が5cm 、底辺が4cmと分かれば、高さは三平方の定理で求められます：
  $a^{2}+b^{2}=c^{2}$
  $a^{2}+4^{2}=5^{2}$
  $a^{2}+16=25$
  $a^{2}+16-16=25-16$
  $a^{2}=9$
  $a=3$
  これで直角を成す2辺（aとb）の値を面積の公式に当てはめることができます：
  ${\text{Area}}={\frac {1}{2}}(bh)$
  ${\text{Area}}={\frac {1}{2}}(4)(3)$
  ${\text{Area}}={\frac {1}{2}}(12)$
  ${\text{Area}}=6$
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方法 2

方法 2 の 4:

辺の長さを使う

1
三角形の半周長を求める　半周長とは、図形の周囲の長さを2で割った値のことです。三角形の半周長を求めるには、3辺の長さを足し合わせて ${\frac {1}{2}}$ ${\frac {1}{2}}$ を掛けます。^{[2]
X
出典文献}
- 例えば、3辺が5 cm、4 cm、3 cmの三角形の場合、半周長は以下のようになります：
  $s={\frac {1}{2}}(3+4+5)$
  $s={\frac {1}{2}}(12)=6$
2
ヘロンの公式　ヘロンの公式は ${\text{Area}}={\sqrt {s(s-a)(s-b)(s-c)}}$ で、 $s$ が三角形の半周長、 $a$ , $b$ , $c$ がそれぞれの辺です。^{[3]
X
出典文献}　
3
半周長と辺の値を公式に当てはめる　公式内のすべての $s$ $s$ に半周長を当てはめます。
- 例：
  ${\text{Area}}={\sqrt {s(s-a)(s-b)(s-c)}}$
  ${\text{Area}}={\sqrt {6(6-3)(6-4)(6-5)}}$
4
括弧内の数値を計算する　それぞれの辺の長さを半周長から引き、算出した値をすべて掛け合わせます。
- 例：
  ${\text{Area}}={\sqrt {6(6-3)(6-4)(6-5)}}$
  ${\text{Area}}={\sqrt {6(3)(2)(1)}}$
  ${\text{Area}}={\sqrt {6(6)}}$
5
根号（ルート記号）内の2つの数値を掛ける　続いて、算出した値の平方根を求めます。これが三角形の面積になります。
- 例：
  ${\text{Area}}={\sqrt {6(6)}}$
  ${\text{Area}}={\sqrt {36}}$
  ${\text{Area}}=6$
  すなわち、三角形の面積は6平方センチメートルです。
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方法 3

方法 3 の 4:

正三角形の1辺を使う

1
正三角形の1辺の長さを求める　正三角形は、3辺の長さと3つの角度がすべて等しいため、1辺の長さが分かれば、3辺すべての長さが分かります。^{[4]
X
出典文献}
- 例えば、辺の長さがそれぞれ6cmの三角形があるとします。
2
正三角形の面積を求める公式　公式は ${\text{Area}}=(s^{2}){\frac {\sqrt {3}}{4}}$ で、 $s$ は正三角形の１辺の長さです。^{[5]
X
出典文献}
3
公式に辺の長さを当てはめる　変数 $s$ $s$ に辺の値を当てはめて2乗します。　　
- 例えば、1辺が6cmの正三角形は以下のように計算します：
  ${\text{Area}}=(s^{2}){\frac {\sqrt {3}}{4}}$
  ${\text{Area}}=(6^{2}){\frac {\sqrt {3}}{4}}$
  ${\text{Area}}=(36){\frac {\sqrt {3}}{4}}$
4
2乗した値に ${\sqrt {3}}$ を掛ける　電卓のルート機能を使うと正確な答えが出ます。電卓がない場合には ${\sqrt {3}}$ ${\sqrt {3}}$ の概数1.732を使います。
- 例：
  ${\text{Area}}=(36){\frac {\sqrt {3}}{4}}$
  ${\text{Area}}={\frac {62.352}{4}}$
5
算出した値を4で割る　これが三角形の面積になります。
- 例：
  ${\text{Area}}={\frac {62.352}{4}}$
  ${\text{Area}}=15.588$
  すなわち、1辺6cmの正三角形の面積は約15,59平方センチメートルです。
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方法 4

方法 4 の 4:

三角法を使う

1
隣接する2辺とその内角を求める　隣接する2辺とは、三角形の頂点で隣り合う2辺のことです。^{[6]
X
出典文献}　内角は、その2辺が成す角です。　
- 例えば、隣接する2辺が150cmと231cmの三角形があるとします。その2辺の内角は123度とします。
2
三角法の公式を使って三角形の面積を求める　公式は ${\text{Area}}={\frac {bc}{2}}\sin A$ で、 $b$ と $c$ は隣接する2辺、 $A$ は2辺が成す内角を表します。^{[7]
X
出典文献}
3
公式に辺の長さを当てはめる　変数 $b$ $b$ と $c$ $c$ に辺の長さを当てはめます。2辺の数値を掛け合わせ、算出した値を2で割ります。
- 例：
  ${\text{Area}}={\frac {bc}{2}}\sin A$
  ${\text{Area}}={\frac {(150)(231)}{2}}\sin A$
  ${\text{Area}}={\frac {(34,650)}{2}}\sin A$
  ${\text{Area}}=17,325\sin A$
4
内角のサイン（正弦）を公式に当てはめる　サインの値を求めるには、関数電卓に角度を入力してSINボタンを押します。
- 例えば、123度のサインは.83867となるため、計算式は以下のようになります：
  ${\text{Area}}=17,325\sin A$
  ${\text{Area}}=17,325(.83867)$
5
2つの値を掛ける　これが三角形の面積になります。　
- 例：
  ${\text{Area}}=17,325(.83867)$
  ${\text{Area}}=14,529.96$ .
  したがって、この三角形の面積は約14,530平方センチメートルです。
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ポイント

底辺×高さ÷2でどうして三角形の面積が求められるのか、疑問に感じている方へ、簡単な説明がこちらです。2つの同じ三角形を組み合わせると、直角三角形の場合は長方形に、それ以外の場合は平行四辺形になります。長方形や平行四辺形の面積は、底辺×高さで求めます。すなわち、三角形は長方形または平行四辺形の半分ですから、底辺と高さを掛け、それを半分にして面積を求めます。