三角形の高さを求める方法

この記事の内容底辺と面積から高さを求める正三角形の高さを求める辺と角から高さを求める関連記事参照

三角形の面積を計算するには高さを知る必要があります。高さを求める方法をこれから紹介します。高さを求めるには少なくとも底辺の値が必要です。

方法 1
底辺と面積から高さを求める

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三角形の面積を求める公式を使う　三角形の面積を求める公式はA=1/2bh^[1] です。
- A =三角形の面積
- b =底辺の長さ
- h =高さ
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三角形のどの値が与えられているか判断する　この場合、面積が分かっているのでAにその値を入れます。また、一辺の長さも分かっているのでbにその値を入れます。面積も辺の長さも分からない場合には違う方法を使う必要があります。
- 三角形の向きに関わらず、どの辺も底辺になり得ます。数値が与えられている辺が底辺になるように、頭の中で三角形を回転させると分かりやすいでしょう。
- 例えば、面積が20で一辺が4の場合、A = 20でb = 4になります。
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公式：A=1/2bhにそれぞれの数値をあてはめて計算する　まず底辺(b)に1/2をかけ、その積で面積を割ります。この答えが三角形の高さです。
- 例：20 = 1/2(4)h
- 20 = 2h
- 10 = h

方法 2
正三角形の高さを求める

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正三角形の属性を確認する　正三角形は三辺の長さが等しく、三つの内角がすべて60度です。正三角形を半分に切ると、合同の直角三角形がふたつできます。^[2]
- 例題では、一辺の長さが8の三角形を使用します。
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ピタゴラスの定理を使用する　どのような直角三角形でも、斜辺の長さをc、他の二辺をa、bとしたときに、a² + b² = c²が成り立つことがピタゴラスの定理で証明されています。この定理を利用すると正三角形の高さを求められます。^[3]
3
正三角形を半分にしてa、 b、cにそれぞれの数値を入れる　斜辺cは、元の正三角形の一辺の長さと等しくなります。辺aは正三角形の一辺の長さの1/2で、辺bがここで求める高さです。
- 例題の正三角形は一辺の長さが8なので、c = 8、 a = 4となります。
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ピタゴラスの定理に数値を入れて b²の値を求める　まず、c と aの値をそれぞれ二乗し、c²からa²を引きます。　
- 4² + b² = 8²
- 16 + b² = 64
- b² = 48
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b²の平方根を解いて三角形の高さを求める　計算機のルート機能を使って48の平方根を求めます。答えが三角形の高さです。
- b = Sqrt (48) = 6.93（注：Sqrtはルートを意味します）

方法 3
辺と角から高さを求める

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与えられている数値を確認する　三辺の長さ、または一つの角とその角を挟む二辺の長さが分かれば三角形の高さを求められます。三角形の辺をa、b、c、角をA、B、Cとします。
- 三辺の長さが分かれば、ヘロンの公式と三角形の面積の公式を用いて高さを求めます。
- 二辺と挟まれる角が分かる場合は、A = 1/2ab(sin C)の公式を使って高さを求めます。^[4]
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三辺の長さが分かればヘロンの公式を使う　ヘロンの公式は2段階に分かれています。最初に三角形の周長の半分である数値、sを求めます。この数値はs = (a+b+c)/2^[5]で求められます。
- 三辺の長さがa = 4、b = 3、c = 5の場合s = (4+3+5)/2となり、s = (12)/2からs = 6になります。
- ヘロンの公式の次の段階、A(面積)=sqr{s(s-a)(s-b)(s-c)}を使用します（注：sqrはルートを意味します）。Aには三角形の面積の公式をあてはめます。つまり、1/2bh、1/2ah、または1/2chのどれを代入しても問題ありません。
- 計算をしてhを求めます。この例では1/2(3)h = sqr{6(6-4)(6-3)(6-5)}なので、3/2h = sqr{6(2)(3)(1)}となり、3/2h = sqr(36)になります。計算機で36のルートを求めると3/2h = 6となります。したがって、辺bを底辺として高さが4になります。
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二辺と挟まれる角が分かっている場合は、面積を求める公式を用いる　二辺a、bとその二辺に挟まれた角Aが与えられた時、面積(A)＝1/2ab(sin C)が成り立ちます。Aに三角形の面積の公式をあてはめると、1/2bh = 1/2ab(sin C)となります。この式を簡単にすると1/2と辺bが相殺されるのでh = a(sin C)になります。^[6]
- 与えられた数値を使って式を解きます。例えば、辺aが3、角Cが40であれば式はh = 3(sin 40)になります。計算機を使って解くと、この例題ではhはおよそ1.928になります。このようにして、高さが求められます。この方法は、残りの一辺の長さを求める際やひし形にも応用できます。