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二次方程式の頂点を求める方法

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二次方程式や放物線の頂点は、その方程式の一番高い点、あるいは一番低い点です。また、頂点は放物線全体の対象軸上にあり、その左側の放物線は、その右側の放物線と完全に左右対称になります。ある二次方程式の頂点を求めたい場合には、頂点の公式か平方完成のどちらかを使う事ができます。

方法 1 の 2:

頂点の公式を使う

1
a、b、cの値を求めましょう。二次方程式では、 $x^{2}$ の項がa、 $x$ の項がb、定数項（変数のない項）がcです。 $y=x^{2}+9x+18$ の方程式を例にとって考えてみましょう。この例題では、 $a$ = 1、 $b$ = 9、 $c$ = 18となります。^{[1]
X
出典文献}
2
頂点の公式を用いて、頂点の $x$ 値を求めましょう。頂点は方程式の対称軸上の点でもあります。二次方程式の頂点の $x$ $x$ 値を求める公式は、 $x={\frac {-b}{2a}}$ $x={\frac {-b}{2a}}$ です。対応する値を入れて $x$ を求めます。aとbに値を代入しましょう。次のようになります。
- $x={\frac {-b}{2a}}$
- $x={\frac {-(9)}{(2)(1)}}$
- $x={\frac {-9}{2}}$
3
$y$ y{\displaystyle y} $y$ の値を求めるために、 $x$ の値を元の方程式に当てはめましょう。 $x$ $x$ の値がわかっているので、元の方程式にこれを入れて、 $y$ $y$ の値を求めましょう。二次方程式の頂点を求める式は、 $(x,y)=\left[({\frac {-b}{2a}}),f({\frac {-b}{2a}})\right]$ $(x,y)=\left[({\frac {-b}{2a}}),f({\frac {-b}{2a}})\right]$ である事はおわかりかもしれません。つまり、 $y$ $y$ の値を知るには、 $x$ $x$ の値を公式から求め、それを方程式に戻せば良いという事になります。以下のように解きましょう。
- $y=x^{2}+9x+18$
- $y={\frac {(-9)}{(2)}}^{2}+9{\frac {(-9)}{(2)}}+18$
- $y={\frac {81}{4}}-{\frac {81}{2}}+18$
- $y={\frac {81}{4}}-{\frac {162}{4}}+{\frac {72}{4}}$
- $y={\frac {(81-162+72)}{4}}$
- $y={\frac {-9}{4}}$
4
$x$ 値と $y$ 値を並べて対で書きましょう。 $x={\frac {-9}{2}}$ で、 $y={\frac {-9}{4}}$ とわかっているので、あとは $({\frac {-9}{2}},{\frac {-9}{4}})$ と並べて対で書くだけです。この二次方程式の頂点は、 $({\frac {-9}{2}},{\frac {-9}{4}})$ となります。この放物線のグラフを描くのであれば、 $x^{2}$ の項が正なので、この点が放物線の一番下の点となります。

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方法 2 の 2:

平方完成をする

1
方程式を書きましょう。平方完成は、二次方程式の頂点を求めるもう一つの方法です。この方法では、元の方程式にxの座標を代入しなくても、最後に $x$ と $y$ の座標をすぐに求める事ができます。 $x^{2}+4x+1=0$ の二次方程式を例にとってみましょう。^{[2]
X
出典文献}
2
それぞれの項を、 $x^{2}$ の項の係数で割りましょう。この例題の場合、 $x^{2}$ の項の係数は1なので、この過程は飛ばす事ができます。全ての項を1で割っても、何も変わりません。しかし、全ての項を0で割ってしまうと、全てが変わってしまいます。
3
定数項を方程式の右側に移動させましょう。定数項は係数のない項です。この例題では1です。等式の両側から1を引く事で、1を移項しましょう。^{[3]
X
出典文献}
- $x^{2}+4x+1=0$
- $x^{2}+4x+1-1=0-1$
- $x^{2}+4x=-1$
4
方程式の左側で平方完成をしましょう。これにより、簡単に $({\frac {b}{2}})^{2}$ $({\frac {b}{2}})^{2}$ が求まるので、方程式の両側にその答えを加えましょう。 $4x$ $4x$ がこの方程式のbの項なので、4を $b$ $b$ に代入しましょう。
- $({\frac {4}{2}})^{2}=2^{2}=4$ $({\frac {4}{2}})^{2}=2^{2}=4$ ですので、4を方程式の両側に加え、以下のようになります。
  - $x^{2}+4x+4=-1+4$
  - $x^{2}+4x+4=3$
5
方程式の左側を因数分解しましょう。 $x^{2}+4x+4$ は完全平方である事がおわかりでしょう。 $(x+2)^{2}=3$ のように書くことができます。
6
$x$ と $y$ の座標を求めるために、この形式の式を使いましょう。 $x$ 座標は、 $(x+2)^{2}$ を0とすると簡単に求める事ができます。 $(x+2)^{2}=0$ であれば、 $x$ は何になるでしょうか。 $x$ は、+2を相殺するために、-2でなければならず、 $x$ 座標は-2となります。 $y$ 座標は右側の定数項です。ですので、 $y=3$ となります。もっと簡単に、かっこ内の数の逆数をとって $x$ 座標を求める事もできます。以上より、方程式の頂点は、 $x^{2}+4x+1=(-2,-3)$ となります。

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ポイント

a、b、cを正しく把握しましょう。
いつも計算の過程を残しましょう。これにより、計算をあなたが理解している事を採点者がわかるだけでなく、自分自身がどこで間違えたかを知る助けにもなります。
正しく答えを導くために、計算の順番は守りましょう。

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注意事項

計算を書き出し、確認しましょう。
a、b、cが何かをわかっているか確認しましょう。間違っていると、答えも間違えてしまいます。
肩の力を抜きましょう。これは少し練習が必要かもしれません。

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必要なもの

紙と鉛筆
計算機

出典

このwikiHow記事について

wikiHowは「ウィキ」サイトの一つであり、記事の多くは複数の著者によって共著されています。この記事は、匿名の筆者を含む60人が執筆・推敲を行い、時間をかけて編集されました。

カテゴリ: 数学

English:Find the Vertex of a Quadratic Equation

Español:encontrar el vértice de una ecuación cuadrática

Português:Encontrar o Vértice de uma Equação Quadrática

Français:trouver le sommet d'une parabole d'une équation du second degré

中文:找到一元二次函数的最值

Русский:найти вершину параболы квадратного уравнения

Nederlands:De extreme waarde van een vergelijking vinden

Bahasa Indonesia:Mencari Titik Puncak Persamaan Kuadrat

العربية:الوصول إلى رأس المعادلة التربيعية

ไทย:หาจุดยอดของสมการพาราโบลา

हिन्दी:एक द्विघात समीकरण का शीर्ष (Vertex) पता करें

한국어:이차방정식의 꼭짓점 구하는 방법

Tiếng Việt:Tìm Đỉnh của một Phương trình Bậc hai

Türkçe:İkinci Dereceden Bir Denklemin Tepe Noktası Nasıl Bulunur

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