二次方程式や放物線の頂点は、その方程式の一番高い点、あるいは一番低い点です。また、頂点は放物線全体の対象軸上にあり、その左側の放物線は、その右側の放物線と完全に左右対称になります。ある二次方程式の頂点を求めたい場合には、頂点の公式か平方完成のどちらかを使う事ができます。

方法 1 の 2:
頂点の公式を使う

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    a、b、cの値を求めましょう。二次方程式では、 の項がaの項がb、定数項(変数のない項)がcです。の方程式を例にとって考えてみましょう。この例題では、 = 1 = 9 = 18となります。[1]
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    頂点の公式を用いて、頂点の値を求めましょう。頂点は方程式の対称軸上の点でもあります。二次方程式の頂点の値を求める公式は、です。対応する値を入れてを求めます。aとbに値を代入しましょう。次のようになります。
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    の値を求めるために、の値を元の方程式に当てはめましょう。の値がわかっているので、元の方程式にこれを入れて、の値を求めましょう。二次方程式の頂点を求める式は、である事はおわかりかもしれません。つまり、の値を知るには、の値を公式から求め、それを方程式に戻せば良いという事になります。以下のように解きましょう。
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    値と値を並べて対で書きましょう。で、とわかっているので、あとはと並べて対で書くだけです。この二次方程式の頂点は、となります。この放物線のグラフを描くのであれば、の項が正なので、この点が放物線の一番下の点となります。
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方法 2 の 2:
平方完成をする

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    方程式を書きましょう。平方完成は、二次方程式の頂点を求めるもう一つの方法です。この方法では、元の方程式にxの座標を代入しなくても、最後にの座標をすぐに求める事ができます。の二次方程式を例にとってみましょう。[2]
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    それぞれの項を、の項の係数で割りましょう。この例題の場合、の項の係数は1なので、この過程は飛ばす事ができます。全ての項を1で割っても、何も変わりません。しかし、全ての項を0で割ってしまうと、全てが変わってしまいます。
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    定数項を方程式の右側に移動させましょう。定数項は係数のない項です。この例題では1です。等式の両側から1を引く事で、1を移項しましょう。[3]
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    方程式の左側で平方完成をしましょう。これにより、簡単にが求まるので、方程式の両側にその答えを加えましょう。がこの方程式のbの項なので、4に代入しましょう。
    • ですので、4を方程式の両側に加え、以下のようになります。
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    方程式の左側を因数分解しましょう。は完全平方である事がおわかりでしょう。のように書くことができます。
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    の座標を求めるために、この形式の式を使いましょう。座標は、を0とすると簡単に求める事ができます。であれば、は何になるでしょうか。は、+2を相殺するために、-2でなければならず、座標は-2となります。座標は右側の定数項です。ですので、となります。もっと簡単に、かっこ内の数の逆数をとって座標を求める事もできます。以上より、方程式の頂点は、となります。
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ポイント

  • a、b、cを正しく把握しましょう。
  • いつも計算の過程を残しましょう。これにより、計算をあなたが理解している事を採点者がわかるだけでなく、自分自身がどこで間違えたかを知る助けにもなります。
  • 正しく答えを導くために、計算の順番は守りましょう。

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注意事項

  • 計算を書き出し、確認しましょう。
  • a、b、cが何かをわかっているか確認しましょう。間違っていると、答えも間違えてしまいます。
  • 肩の力を抜きましょう。これは少し練習が必要かもしれません。
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必要なもの

  • 紙と鉛筆
  • 計算機

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