特定の二次関数の最大値または最小値を求める知識は、様々な局面で必要となります。最大値や最小値は、という基本の形や、それを平方完成させたという形で関数が与えられれば求められます。計算では、微分の知識が必要になる場合もあります。

方法 1 の 3:
基本の関数の形から求める

  1. 1
    関数を基本の形にします。二次関数には、の項が含まれます。指数がつかないの項はある場合とない場合とがあります。2より大きい指数は含まれません。基本の関数の形はです。必要に応じて、同類項をまとめて関数をこの形にしましょう。[1]
    • 例として、を解きましょう。の項と の項をまとめ、基本の形にまとめると、関数は以下の形になります。
  2. 2
    グラフの向きを確認します。二次関数のグラフは放物線を描きます。放物線は下に凸のものと上に凸のものとがあります。 の項の係数が正の数だと放物線は下に凸となります。aが負の数だと、放物線は上に凸となります。[2] 以下に例を挙げます。 [3]
    • では、なので、放物線は下に凸となります。
    • では、なので、放物線は上に凸となります。
    • では、 なので、放物線は下に凸となります。
    • 下に凸の放物線の場合、最小値を求めます。上に凸の放物線の場合、最大値を求めます。
  3. 3
    -b/2aを計算します。の値が、放物線の頂点におけるの値となります。二次関数がという基本形で書かれている場合、の項の係数を使って次のとおり計算します。
    • では、です。従って、頂点のx座標は以下のとおり求められます。
    • 次の例として、を考えましょう。この場合、です。従って、頂点のx座標は以下のとおり求められます。
  4. 4
    対するf(x)の値を求めます。求めたxの値を関数に代入し、対するf(x)の値を求めましょう。これが関数の最小値または最大値になります。
    • 上記の最初の例、で、頂点のx座標はであることを求めました。関数のxの部分にを代入し、最大値を算出しましょう。
    • 上記の2つ目の例、では、頂点のx座標はです。関数のxの部分にを代入し、最大値を算出しましょう。
  5. 5
    答えを出します。問題を再度見直します。頂点の座標を聞かれている場合、)両方の値を答える必要があります。最大値または最小値だけを聞かれている場合、)の値だけを答えます。改めて係数の値を見返し、答えが最大値なのか最小値なのか確認しましょう。
    • 1つ目の例題では、が正の数なので、最小値を答えることになります。頂点の座標はで、最小値はです。
    • 2つ目の例題では、が負の数なので、最大値を答えることになります。頂点の座標はで、最大値はです。
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方法 2 の 3:
平方完成した関数の形から求める

  1. 1
    二次関数を基本の形か平方完成した形で書きます。平方完成した形というのは、次のような形です。[4]
    • この形で関数が与えられた場合、の値に注目しましょう。関数がという基本の形で与えられた場合、平方完成した形に書き換える必要があります。
  2. 2
    グラフの向きを考えます。基本の形の二次関数と同様に、係数の値を見れば、放物線の向きが分かります。平方完成した形でが正の数の場合、放物線は下に凸となります。 が負の数の場合、放物線は上に凸となります。[5] 以下の例を見てみましょう。 [6]
    • では、で正の数なので、放物線は下に凸となります。
    • では、で負の数なので、放物線は上に凸となります。
    • 放物線が下に凸の場合、最小値を求めます。放物線が上に凸の場合、最大値を求めます。
  3. 3
    最大値または最小値を求めます。関数が平方完成した形の場合、最小値または最大値は、変数の値となるので、答えを出すのは簡単です。上記の例題の場合、以下のとおりとなります。
    • では、です。放物線は下に凸なので、これが最小値です。
    • では、です。放物線は上に凸なので、これが最大値です。
  4. 4
    頂点を求めます。最小値または最大値における座標を聞かれている場合、頂点はです。このとき、平方完成した形の関数において、括弧内の項はなので、の後に続く数の符号を変える必要があることに気を付けましょう。
    • では、括弧内の項は(x+1)で、これは(x-(-1))と書き換えられます。つまりです。よって、この関数の頂点の座標はとなります。
    • では、括弧内の項は(x-2)です。つまりです。よって、頂点の座標は(2, 2)となります。
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方法 3 の 3:
微分で最小値や最大値を求める

  1. 1
    基本の形から始めます。関数をという基本の形で書きます。必要に応じて同類項をまとめたりして、適切な形に整えましょう。[7]
    • を例題として解きましょう。
  2. 2
    微分の公式を用いて一次導関数を求めます。微分の基礎的な公式を用いると、基本の形の二次関数の一次導関数はとなります。[8]
    • 例えば、の導関数は次のようになります。
  3. 3
    導関数がゼロになるよう、方程式を作ります。導関数で算出した値は、特定の点における元の関数の傾きを意味します。そして、最小値や最大値の点において、傾きはゼロになります。つまり、導関数がゼロになる方程式を作ると、最小値や最大値になる点を見つけることができるのです。上記の例題を続けて解いていきましょう。[9]
  4. 4
    xの値を求めます。基本的な代数の公式を用いて、導関数がゼロとなるときのxの値を求めましょう。これが関数の頂点、つまり最大値または最小値となる点におけるx座標の値となります。[10]
  5. 5
    求めたxの値を元の関数に代入します。関数の最小値または最大値は、求めたにおけるの値です。求めたの値を元の関数に代入し、最小値または最大値を算出しましょう。[11]
    • を代入します。
  6. 6
    答えを出します。この計算結果が、最大値または最小値をとる頂点の座標を示します。例題では、頂点の座標はです。係数が正の数なので、放物線は下に凸となります。よって、頂点のy座標がこの関数の最小値です。[12]
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ポイント

  • x = hが放物線の対称軸となります。
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このwikiHow記事について

Jake Adams
共著者 ::
家庭教師、テスト対策専門家
この記事の共著者 : Jake Adams. 家庭教師として11年以上の経験を持つジェイク・アダムスは、カリフォルニア州マリブを拠点にSAT・ACT対策と大学受験カウンセリング、また幼稚園から大学の教科科目指導を提供している会社「PCH Tutors」の経営者です。また、カリフォルニア州在住の優れた家庭教師をクライアントに紹介するオンライン家庭教師仲介会社「Simplifi EDU」の最高経営責任者も務めています。ペパーダイン大学にて国際ビジネス・マーケティングの学士号を取得。
カテゴリ: 数学
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