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体積とは、立体が空間で占める大きさを計測したものです。[1] その立体の中にどれほどの量の水(あるいは空気や砂など)が入るのかを示す量と考えても良いかもしれません。体積には立方センチメートル(cm3)、立方メートル (m3)、立方インチ(in3)、立方フィート(ft3)などが一般的に用いられています。[2] この記事では、直方体、球体、円すいを含む、数学の問題に頻繁に登場する6つの異なる立体における体積の求め方を紹介します。体積を求める計算式には多くの共通点があり、こうした共通点を利用するとより覚えやすくなります。読みながら見つけてみましょう。

方法 1 の 6:
立方体の体積を計算する

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    立方体を見分けられるようになる 立方体とは3次元の形状の1つで、6つの同一の面で構成されています。[3] つまり、すべての面が同じ大きさの箱です。
    • 家で見つけることのできる立方体の例が6面のサイコロです。角砂糖、子供が文字を学習する際に用いるブロックなども、この形状のものが多いでしょう。
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    立方体の体積を求める計算式を覚える 立方体ではあらゆる辺の長さが等しいので、計算式もかなり簡単です。「1辺の長さ3」となります。
    • 「1辺の長さ3」とは、その値を3回かけ算する、つまり、s3 であれば、s × s × s、という意味です。
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    立方体の1辺の長さを測る 問題によっては、立方体の辺の長さが既に与えられていることもありますが、そうでない場合は定規で自分で測る必要があります。立方体はすべての辺の長さが等しいという特徴を忘れないようにしましょう。どの辺を選んで測っても結果は同じです。
    • 与えられた形状が立方体なのか、はっきりと分からない場合は、それぞれの辺を測り、長さが等しくなっているか確認しましょう。長さが異なる場合は、立方体ではなく、この後で紹介する直方体の体積の求め方が当てはまります。
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    辺の長さを計算式「1辺の長さ3」に当てはめる 例えば、立方体の辺の長さが5インチであることがわかったら、この値を計算式に当てはめましょう。(5 in)3なので、5 in × 5 in × 5 in = 125 in3となり、この立方体の体積が分かります。
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    答えの単位を間違えない 上記の計算ではインチが用いられました。したがって、答えの単位は立方インチとなります。立方体の1辺の長さが3「センチ」だったのであれば、 (3 cm)3、あるいは 27 cm3ということになります。
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方法 2 の 6:
直方体の体積を計算する

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    直方体を見分けられるようになる 直方体、つまり底面が長方形の角柱とは、6つの面全てが長方形の3次元の形状を指します。[4] 言い方を変えると、直方体とは、3次元の長方形、あるいは長方形の箱ということになります。
    • 立方体とは長方形の辺の長さが全て等しい特殊な直方体だと理解することができます。
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    直方体の体積を求める計算式を覚える 直方体の体積は「底面積×高さ」で求められます。底面積は長方形の辺の「縦×横」で求められるので、「縦×横×高さ」となります。
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    直方体の辺の長さを測る まずは置かれている床や地面に平行な、最も長さのある辺から測りましょう。これが底面積を計算する際の「横」の長さとなります。すでに長さが与えられていることもありますが、そうでなければ定規を使って自分で測りましょう。
    • 例えば、横の長さは4インチと仮定しましょう。
    • どの辺を「縦」と考え、「横」と考えるべきかという点で頭を悩ませる必要はありません。3つの異なる辺の長さが分かっていれば、かけ算をする順序に関係なく同じ答えになります。
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    縦の長さを測る これは立方体が置かれている床や地面に平行な、短いほうの辺の長さを指します。繰り返しになりますが、問題によっては長さがの値が与えられていることもありますが、そうでない場合は定規を使って自分で測りましょう。
    • ここでは、上記のイラストにもあるように、縦の長さを3インチと仮定しましょう。
    • 定規や巻き尺で直方体の辺の長さを測る時は、必ず単位を統一して値を書き取っておきましょう。1つの辺をインチで測り、別の辺をセンチメートルで測らないよう注意しましょう。単位は必ずそろえましょう。
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    直方体の高さを測る 高さとは、直方体が置かれている床や地面から直方体の上の底面までの距離を意味しています。既に値が分かっている場合は参照し、分からない場合は定規や巻き尺で測りましょう。
    • 例として、高さが6インチだと仮定しましょう。
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    「縦×横×高さ」に値を当てはめる 直方体の体積は、「縦×横×高さ」で求められます。
    • 例では、縦が3インチ、横が4インチ、高さが6インチだったので、4 × 3 × 6 で72となります。
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    正しい単位を用いる 例題ではインチが単位として用いられていたので、答えは72立方インチ(72 in3)となります。
    • 縦2センチ、横4センチ、高さ8センチという直方体であれば、2 cm × 4 cm × 8 cm という計算となり、答えは64 cm3です。
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方法 3 の 6:
円柱の体積を求める

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    円柱を見分けられるようになる 円柱とはは2つの等しい円型の面が含まれている3次元の形状で、その2つの面をつなぐように円周上に曲線の辺が伸びています。[5]
    • 缶詰や単3電池、単4電池の形状がこれに当てはまります。
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    円柱の体積を求める計算式を覚える 円柱の体積を求めるには、高さと、円形の底面の半径(縁の中心から円周までの距離)が必要になります。体積の計算式は「半径×半径×円周率×高さ」です。
    • 幾何学の問題では、円周率の値が細かく指定されていることもありますが、ほとんどの場合、3.14を用いれば充分でしょう。念のため、担当の教師に用いるべき値を確認しておくと安心です。
    • 円柱の体積の求め方は直方体の体積の求め方と似ています。どちらも底面の面積と高さをかけ算する仕組みになっています。直方体の場合、底面積は「縦×横」で求めることができました。円柱の底面積は「半径×半径×円周率」で求めることができます。
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    底面の半径を求める すでに値が与えられているのであれば、それを当てはめれば完了です。半径ではなく直径の値が与えられている場合は、それを2で割ると半径になります。
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    半径が分からない場合は測る 円形の立体の寸法を正確に測るのは、なかなか困難なので注意が必要です。やり方の1つとして挙げられるのが、上を向いている底面を使って定規や巻き尺で測るというものです。最も広くなっている位置で長さを測り、それを2で割って半径としましょう。
    • 別の方法として考えられるのが、 円柱の円周(外周)を巻き尺で測るか、ひもを1周巻きつけ、印をつけて定規で長さを測るというものです。分かった値を「円周=2×半径×円周率」という計算式に当てはめます。求めたいのは半径なので、円周の値を「2×円周率」で割ると、判明します。
    • 例えば、測ってみたところ円周が8インチであった場合、半径は1.27インチということになります。
    • できるかぎり正確にに計測したいのであれば、両方の方法を用いて、値が近いか確認しましょう。大きく異なる場合は、再度計算してみましょう。円周を用いた方法の方が、より正確な値が求められます。
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    底面の面積を計算する 底面の半径を「半径 × 半径 × 3.14」に当てはめましょう。例えば次のようになります。
    • 半径が4インチである場合、その円形の底面積の面積は、42 × 3.14となります。
    • 42 = 4 × 4 あるいは 16となります。16に円周率(3.14)をかけ、 50.24 in2 となることがわかります。
    • 半径の代わりに直径の値が与えられている場合は、2で割りましょう。半径とは直径の半分の長さなので、2で割れば分かります。
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    円柱の高さを把握する これは2つの円形の底面の距離、つまり床あるいは地面に接している底面から上部の底面までの距離を指します。すでに値が与えられている時は、その値を使用しましょう。ない場合は定規や巻き尺で計測します。
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    底面積と高さをかけ算して円柱の体積を求める あるいは手順を飛ばして円柱の尺を「半径×半径×円周率×高さ」に当てはめていきましょう。半径4インチ、高さ10インチの円柱は次のように計算することができます。
    • 体積=4 × 4 × 3.14 × 10
    • 4 × 4 × 3.14 × 10 = 50.24
    • 50.24 × 10 = 502.4
    • 体積 = 502.4
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    正しい単位を用いる 例題ではインチが用いられていたので、 502.4 in3となります。センチメートルが用いられていたのであれば、最終的な体積も立法センチメートル 「cm3」で表しましょう。
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方法 4 の 6:
正角すいの体積を求める

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    正角すいを理解する 角錐とは底面が多角形になっていて、頂点に向かって細くなっているピラミッド状の3次元の形状です。[6] 正角すいとは、底面の多角形が正多角形になっているもの、つまり多角形の辺の長さが全て等しく、角がすべて直角になっているものを指します。[7]
    • 角すいという言葉から底面が正方形のピラミッド状の立体を想像する人がほとんどかもしれませんが、角すいには底面が5角形、6角形、時には100角形になっているものもあります。
    • 底面が円になって頂点に向かって細くなっている立体は円すいと呼ばれます。次のセクションで説明します。
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    正角すいの体積の求め方を覚える 正角すいの体積は「底面積×1/3」で求めることができます。底面積は正方形の面積、高さは底面から頂点までの距離を指します。
    • 体積の計算式は、直角すい(頂点が底面の中心の真上に位置している角すい)と斜角すい(頂点が中心の真上に位置していない角すい)で同じです。
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    底面積を計算する 底面積の求め方は、底面の辺の数によって異なります。上のイラストでは、1辺の長さが6インチの正方形が用いられています。正方形の面積は1辺の長さを2乗することで求めることができました。この角すいは1辺の長さが6インチなので 6 in2、つまり36 in2となります。
    • 三角形の面積は「底辺×高さ×1/2」で求められます。
    • あらゆる正多角形の面積は「円周×辺心距離×1/2」で求められます。辺心距離とは、形状の中心から、いずれかの辺の中間点までの距離を指します。この計算は複雑なので、この記事では詳しく取り扱いませんが、多角形の面積の求め方について別途調べてみると、色々と参考になるでしょう。あるいは、正多角形の面積を求める計算機能をインターネット上で探して用いれば、計算の手間は省けます。[8]
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    角すいの高さを把握する 多くの場合、問題の中ですでに提示されているはずです。ここでは例として10インチと仮定しましょう。
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    底面積に高さをかけ、3で割る 「底面積×1/3」という体積を求める計算式を思い出しましょう。底面積が36、高さが10だったので、36×10×1/3で120となります。
    • 底面が5角形の角すいで、底面積が26、高さが8だったのであれば、26 × 8 × 1/3で69.33となります。
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    正しい単位を用いる 例ではインチが使われていたので、立方インチを用いる必要があります。角すいがメートルで計測したものであれば、体積は立方メートル「m3」で表す必要があります。
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方法 5 の 6:
円すいの体積を求める

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    円すいを理解する 円すいとは円形の底面と頂点(コーンの先端)から構成されている3次元の形状です。丸い角すいと考えても良いかもしれません。[9]
    • 底面の円の中心の真上に頂点が位置しているものを正円すい、中心の真上に頂点が位置していないものを斜円すいと呼びます。幸い、円すいの体積の求め方は正円すいも斜円すいも同じです。
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    円すいの体積を求める計算式を覚える 計算式は「半径×半径×円周率×高さ×1/3」です。円周率には3.14を用いることができます。
    • 「半径×半径×円周率」の部分は円すいの底面積を求める計算です。つまり、角すいと同様に、「底面積×1/3」という基本が用いられています。
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    円形の底面積を求める 底面の半径が必要となります。上の図解を参考にしましょう。半径ではなく直径の値が与えられた場合は、2で割ると半径になります(半径とは直径の半分の長さです)。半径の値を、円の面積を求める公式に当てはめて計算しましょう。
    • 上の図解では、円形の底面の半径は3インチとなっています。これを計算式に当てはめると3 × 3 × 3.14となります。
    • 32 = 3 × 3 あるいは 0、したがって9 × 3.14です。
    • 面積 = 28.26 in2となります。電卓でπキーを用いると図解のように28.27となります。
  4. 4
    高さを求める 底面から頂点までの垂直方向の距離です。ここでは5インチと仮定しましょう。
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    高さと底面積をかける 底面積の28.27平方インチと高さの5インチをかけましょう。28.27 x 5 = 141.35となります。
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    さらに1/3をかける(あるいは3で割る) 既に円柱の体積を求めました。上下に円形の底面があると円柱ですが、一方の底面がなくなり、側面が1つの頂点に向かって傾いていると円すいになります。円柱の体積にあたる答えをさらに3で割ると円すいの体積になります。
    • 例では, 141.35 × 1/3 = 47.12が円すいの体積となります。
    • 言い換えると、 半径×半径×円周率×高さ×1/3 = 47.12 です。
  7. 7
    正しい単位を用いる インチで測った円すいであれば体積も立方インチにする必要があります。47.12 in3となります。
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方法 6 の 6:
球体の体積を求める

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    球体を見分けられるようになる 球体とは完全に丸い3次元の形状で、表面はどの位置をとっても中心からの距離が等しくなっています。球体とはつまりボール状の立体です。[10]
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    球体の体積の求め方を覚える 球体の体積の求め方は「4/3πr3」です。「π」は円周率あるいはパイ、「r」は半径を指します。例えば「3分の4かけるパイアール3乗」と覚えてしまいましょう。[11]
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    球体の半径を求める 半径がすでに与えられている場合は、計算は必要なく、図表から見つければ完了です。直径が与えられている場合は、その値を2で割ると半径になります。上記の図表では、例として半径3インチとしています。
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    半径を自分で測る 球体(例えばテニスボール)の半径の値が明らかになっておらず、自分で計測しなければならない場合、まず球体にぐるりと巻くことができる長さのひもを用意しましょう。そのひもを、球体の最も膨らんでいる位置でぐるりと巻き、ぶつかった所に印をつけます。印までのひもの長さを定規で測ると球体の円周となります。この値を「2×円周率」で割ると、半径の長さになります。
    • 例えば、ボールの円周を計測し、18インチだったとしましょう。これを6.28で割り、半径は2.87インチとなります。
    • 球体の寸法を正確に測るのは簡単ではないので、3回計測し、その平均値(3回の計測値を足して3で割る)を用いると安心かもしれません。
    • 例えば、3回円周を計測して、18インチ、17.75インチ、18.2インチだったとしましょう。この3つの値を足します。18 + 17.5 + 18.2 = 53.95、となり、さらにこれを3で割ります。53.95/3 = 17.98となります。この17.98という平均値を用いて体積を計算しましょう。
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    半径を3乗して「r3」を求める 3乗するとは、その値を3回かけるということなので、r3 = r × r × r です。例を用いると、r3 = 33 = 3 × 3 × 3で27となります。
  6. 6
    4/3をかける 計算機を使うか、自分で計算を行って分数を簡素化させましょう。例を用いると、27に4/3をかけるので、108/3となり、約分して36となります。
  7. 7
    円周率をかけて体積を求める 最後の手順が、上記の計算結果に円周率をかけるというものです。円周率は小数第2位まで切り上げたものを用いれば、ほとんどの数学の問題で問題はないはずです(ただし、教師が別途指示した場合は、そちらに従いましょう)。答えに3.14をかけます。
    • 例では、36 × 3.14 = 113.09となります。
  8. 8
    正しい単位を用いる 例題では球体の半径にインチが用いられていたので、体積は 113.09立方インチ 、あるいは113.09 in3となります。
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カテゴリ: 数学
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