信頼区間を計算する方法

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共著者 : Mario Banuelos, PhD

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信頼区間とは、測定値の正確性を計る指標です。信頼区間はまた予測値の正確性、つまり実験を繰り返した場合に得られる計測値が、当初の予測値にどれだけ近いかを計る指標でもあります。信頼区間を計算する方法を以下で見てみましょう。

ステップ

1
まずテストしたい事象を書き出してみましょう。例えば、以下のような事象を取り上げます。「ABC大学の男子学生の平均体重は80kgです。」ここではABC大学の男子学生の体重についての予測値を、所定の信頼区間の中でどれだけ正確に予測することが出来るかを検証してみましょう。
2
母集団の中から標本を選択しましょう。この標本を使用して、仮説を検証するデータを収集することとなります。ここでは無作為に1,000人の男子学生を選択したとします。
3
標本の平均値と標準偏差を計算しましょう。選択した母集団パラメータを推定するためのサンプル統計量（例えば、標本の平均値、標本の標準偏差）選びましょう。母集団パラメータは、特定の母集団を特徴づける値です。標本の平均値と標準偏差は以下のように計算します。
- データの標本平均値を計算するには、選択した1,000人の男子学生の体重を合計し、その結果を人数である1,000で割るだけです。計算すると平均体重は80kgとなります。
- 標準偏差を計算するには、まずデータの相加平均又は平均値を出します。次に、データの分散（平方偏差）あるいは自乗差の平均を出します。この数値が出たら、その平方根をとります。ここでは仮に標準偏差が14kgだとします。（この情報は統計問題の中で提供される場合があります。）
4
信頼度を定めましょう。よく用いられるのは90%、95%、99%です。この基準も問題の中で提供される場合がありますが、ここでは95%を選択したものとします。
5
誤差を計算してみましょう。誤差は「Z_a/2* σ/√(n)」の式で計算する事が出来ます（Z_a/2 = 信頼係数、a=信頼度、σ=標準偏差、n=標本サイズ）。言い換えると、臨界値に標準誤差を乗じることとなります。以下で、細かく分解して見てみましょう。
- 臨界値であるZ_a/2を見つけるには次の計算を行います。ここでは信頼度は95%です。パーセント値を0.95に変換し、2で割ると0.475です。次にz tableの表で0.475に対応する箇所を探します。行の値1.9、列の値が0.06で交わる箇所を見てみると、最も近い値は1.96です。
- 標準誤差を出すためには、標準偏差である14を、標本数である1,000の平方根で割ります。14/31.6すなわち0.44となります。
- 1.96を0.44（標準誤差の臨界値）で乗じます。0.86が誤差の範囲です。
6
信頼区間を出してみましょう。信頼区間を出すためには相加平均又は平均値（80）と±、そしてその横に誤差の範囲を記載します。解答は80±0.86です。信頼区間の上限と下限は、各々平均値に誤差を加算又は減算することにより表されます。下限は80-0.86すなわち79.14で、上限は80+0.86で80.86です。　
- 信頼区間は「x̅ ± Z_a/2 * σ/√(n)」の計算式を使って簡単に計算することも出来ます。ここでx̅ は、平均値を表します。
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ポイント

TスコアもZスコアも手で計算することは可能ですが、グラフ計算機や、統計学の教科書によく掲載されている統計表を参照する事も出来ます。Zスコアは正規分布計算機、TスコアはT分布計算機を使って出す事も出来ます。いずれもオンラインツールを使うとよいでしょう。

信頼区間が有効であるためには、サンプル母集団が正規分布に従っていることが前提となります。
誤差を計算する際の臨界値は、Tスコア又はZスコアとして示される定数です。標準偏差が不明な場合やサンプル数が少ない場合は、Tスコアがよく使われます。
仮説を検証するために使用する代表標本を選ぶ方法としては、単純無作為抽出法、系統的抽出法、層化抽出法などがあります。
信頼区間は、特定の結果が出る確率を表すものではありません。例えば、母集団の平均値が75から100の間にあることに95%の確実性がある場合、95%の信頼区間は、計算された値の中に平均値がおさまる確率が95%であるという事ではありません。