六角形の面積を求める方法

この記事には:辺の長さを元に基本の六角形の面積を求める辺心距離を元に基本の六角形の面積を求める頂点の座標を用いて変則的な六角形の面積を求めるその他の方法で変則的な六角形の面積を求める8 出典

六角形とは多角形の1つで6つの辺と角度に囲まれています。基本の六角形は辺の長さと角度のがすべて均一で、6つの正三角形が合わさったような形状をしています。変則的な形状も含め、六角形の面積を計算する方法は複数あります。下記の方法を参考に計算方法を学びましょう。

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辺の長さを元に基本の六角形の面積を求める

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    辺の長さが分かっている時は公式を用いる 基本の六角形は6つの正三角形で構成されているので、その公式もまた正三角形の面積を求める公式が元になっています。六角形の面積(A)を求める公式はA = (3√3 s2)/ 2となり、 sが辺の長さを指しています。[1]
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    辺の長さを把握する 1辺の長さが既に分かっている場合は、そのまま公式に当てはめましょう。今回は9センチと仮定しています。1辺の長さが分からななくても、全体の円周や辺心距離(六角形を構成する正三角形の高さで、辺に対して直角に伸びている)が判明していれば、それを元に辺の長さを求めることも可能です。下記の方法を参考にしましょう。
    • 円周が分かっている場合:その円周を6で割り、1つの辺の長さを求めましょう。例えば円周が54センチの場合、6で割り9センチとなります。[2]
    • 辺心距離(a)が分かっている場合:その数字をa = x√3という公式に当てはめ、その答えを2で割ることで算出することができます。これは、辺心距離の線が引かれることで現れる30度、60度、90度の三角形 のx√3の辺が辺心距離になるという特性を利用しています。辺心距離が10√3の場合はxが10となり、辺の長さは10×2で20となります。
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    辺の長さを公式に当てはめる 辺の長さは9センチとしてあるので、この数字を六角形の公式に当てはめましょう。A = (3√3 x 92)/2となります。
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    答えを簡素化する 公式を使って答えを求め、書き出しましょう。面積を求めているので適切な単位(平方センチメートル等)を使いましょう。下記を参考にしましょう。
    • (3√3 x 92)/2 =
    • (3√3 x 81)/2 =
    • (243√3)/2 =
    • 420.8/2 =
    • 210.4 cm2

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辺心距離を元に基本の六角形の面積を求める

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    公式を書いておく 辺心距離(a)から六角形の面積(A)を求める際の公式は A(面積) = 1/2 x P(円周)x a(辺心距離)となります。[3]
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    辺心距離を書き出す この問題では 5√3 cmと仮定します。
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    辺心距離を元に円周を求める 辺心距離は六角形の辺に対して垂直なので、30度、60度、90度の三角形が出来上がります。この三角形の辺の比率はx:x√3:2xで、30度の角度の反対側に位置する短い辺がx、60度の角度の反対側に位置する長い辺がx√3、そして斜辺が2xとなります。[4]
    • 辺心距離はx√3で表されます。つまり、この長さをa = x√3という公式に当てはめ、答えを求めることができます。辺心距離(a)が5√3の場合、5√3 cm = x√3となり、xは5センチということになります。
    • xの値が分かったので三角形の短い辺の長さも5センチとなります。これが六角形の1辺の半分の長さにあたることから、2倍することで1辺の長さが判明します。5 cm x 2 = 10 cmです。
    • 1辺の長さが10センチということが分かったので、6倍して円周を求めましょう。10 cm x 6 = 60 cmとなります。
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    判明した値をすべて公式に当てはめる 円周(P)を求める手順が最も手間がかかります。ここまでたどり着くことができれば、あとは辺心距離(a)と円周(P)を公式に当てはめるだけです。
    • A = 1/2 x P x a
    • A= 1/2 x 60 cm x 5√3 cm
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    答えを簡素化する 累乗根がなくなるまで計算をしましょう。面積なので適切な単位(平方センチメートル等)にそろえましょう。
    • 1/2 x 60 cm x 5√3 cm =
    • 30 x 5√3 cm =
    • 150√3 cm =
    • 259. 8 cm2

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頂点の座標を用いて変則的な六角形の面積を求める

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    xとyの座標をすべて書き出す 六角形の頂点が分かっているのであれば、まずは縦2列、横7行の表を作りましょう。それぞれの行は6つの点(A、B、Cなど)に、それぞれの列は各点のxとyの座標に割り振りましょう。Aと名前をつけてある欄にAのxとy座標の値を書き込みます。同様にBと名前をつけてある欄にBのxとy座標の値を書き込みます。この要領で全ての頂点の座標を書き込みましょう。最後に一番初めにに書き込んだAの座標を繰り返します。下記のようになります。[5]
    • A: (4, 10)
    • B: (9, 7)
    • C: (11, 2)
    • D: (2, 2)
    • E: (1, 5)
    • F: (4, 7)
    • A (繰り返しの分): (4, 10)
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    1つめの頂点のx座標の値に次の頂点のy座標の値を掛ける それぞれの頂点のxの値から右下方向に対角線を引くと分かりやすいかもしれません。結果をそれぞれの行の右端に書き込み、最後に合計を求めましょう。
    • 4 x 7 = 28
    • 9 x 2 = 18
    • 11 x 2 = 22
    • 2 x 5 = 10
    • 1 x 7 = 7
    • 4 x 10 = 40
    • 28 + 18 + 22 + 10 + 7 + 40 = 125
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    1つ目の頂点のy座標の値に次の頂点のx座標の値を掛ける これは、それぞれのyの値から次の行のxの値に向かって左下方向に対角線を引くようなイメージを持つと混乱しないでしょう。全てのかけ算が完了したら合計を求めましょう。
    • 10 x 9 = 90
    • 7 x 11 = 77
    • 2 x 2 = 4
    • 2 x 1 = 2
    • 5 x 4 = 20
    • 7 x 4 = 28
    • 90 + 77 + 4 + 2 + 20 + 28 = 221
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    1つ目の合計値から2つ目の合計値を引く 125から221を引き、-96という答えが出るでしょう。この答えから絶対値の96だけを残します。マイナスという面積はありません。
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    差を2で割る 96を2で割ると、変則的な六角形の面積になります。96/2 = 48となるでしょう。答えに単位をを付け加えましょう。つまり48平方センチメートルです。

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その他の方法で変則的な六角形の面積を求める

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    三角形が欠けている六角形の面積を求める 六角形を構成する三角形が(単数あるいは複数)欠けている場合、まず欠けている場所も含めた全体の面積を求めましょう。次に欠けている部分の面積を求め、最後に全体の面積から差し引けば完了です。変則的な形状の面積のみが残ります。[6]
    • 変則的な六角形全体の面積が60 cm2で欠けている三角形が10cm2である場合、全体から三角形の面積を差し引くので、60 cm2 - 10 cm2 = 50 cm2となります。
    • 正確に正三角形1つ分が欠けているということが分かっているのであれば、全体の面積に6分の5を掛けることもできます。つまり、最終的な面積は三角形5個分という事を意味しています。同様に、三角形2個が欠けているのであれば、6分の4(あるいは3分の2)を掛けましょう。
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    変則的な六角形を複数の三角形に分解する 六角形をよく観察すると、様々な形状の三角形が集まって全体を構成していることに気がつく場合もあります。このような時は、ひとつひとつの 三角形の面積を計算し、 最後に足しましょう。三角形自体の面積も、明らかになっている情報によって求め方が変わってきます。[7]
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    それ以外の形状を探す 三角形に分割できない場合、それ以外の形である可能性も含め、もう一度よく見てみましょう。長方形や円といった形状に分ける事ができるかもしれません。形状が判明した後は、それぞれの面積を求め、最後にすべて足して六角形全体の面積を求めましょう。[8]
    • 六角形が2つの平行四辺形で構成されていることもあります。平行四辺形の面積は、底辺の長さと高さを掛けることで簡単に求めることができます。長方形の公式と同じです。最後に足して全体の面積を求めましょう。

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カテゴリ: 数学

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