円の中心を求めることができれば、円周や円の面積を求める等、幾何学の基本的な問題を解くことができます。円の中心を求める方法は複数あるのです!円の内側で交わる直線を引く、2つの重なり合う円を描く、定規と三角定規を使う、の3つの方法をご紹介します。

方法 1 の 3:
円の内側で交わる直線を引く

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    円を描く コンパスを使う、円形のものを縁取る等します。大きさは適当で構いません。既に描かれている円の中心を求める場合は、新たに円を描き足す必要はありません。
    • コンパスは、円を描いたり図ったりするために特別に設計された器具です。事務用品店などで購入しましょう。[1]
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    円周上の2点を直線(弦)で結ぶ 曲線上の2点を結ぶ線分のことを弦とよびます。[2] この弦をABと名付けます。
    • 弦を描くのは鉛筆が良いでしょう。円の中心が分かったら、後で消せるからです。簡単に消せるように薄く描きましょう。
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    2つ目の弦を描く 先に描いたABと並行で同じ長さにします。これをCDとします。[3]
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    AとCを直線で結ぶ このACは、円の中心を通るはずです。もう1つ直線を引けば、正確な円の中心が分かります。
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    BとDを直線で結ぶ 円周上のBとDを結ぶ線、BDを最後に描きます。先に描いたACと交わるはずです。
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    中心を求める 上記のステップで正確な直線を描けたなら、ACとBDの交わる点が円の中心となります。[4]ペンか鉛筆で円の中心に印をつけます。中心だけ印を残したいなら、4つの弦は消しましょう。
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方法 2 の 3:
2つの重なり合う円を使う

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    円周上の2点をつなぐ弦を描く 定規か物差しを使って円の内側に直線を引きます。円周上のどの2点をつないでも構いません。その2点をA、Bとします。
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    コンパスで2つの重なり合う円を描く 完全に同じ大きさの円でなくてはなりません。Aを1つ目の円の中心、Bをもう1つの円の中心とし、同じ大きさの円を描きます。ベン図のように2つの円が重なり合うよう、適度な間隔を空けます。
    • これらの円は、ペンではなく鉛筆で描く方が良いでしょう。後で消せると工程が楽です。
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    2つの円が交わる2点を通る垂直線を描く 「ベン図」の共通部分のように、2つの円が重なると、上と下に2つの接点ができます。定規でこの2点を通る直線を引きます。そしてこの直線が、最初に描いた円の円周と交わる2点をC、Dとします。CDは、最初に描いた円の直径となります。
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    2つの重なり合う円を消す そうすると、空白ができて次の作業がしやすくなります。今、1つの円の中に、垂直に交わる2つの直線が描かれているはずです。2つの重なり合う円の各中心(AとB)は消さないようにします。次のステップで新しく円を2つ描きます。
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    新たな円を2つ描く コンパスを使って2つの等しい円を描きます。Cを中心とする円と、Dを中心とする円です。この2つの円も、「ベン図」のように重なり合うようにします。CとDは、最初に描いた円と垂直線が交わる点であることを思い出しましょう(ステップ3参照)。
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    新たな2つの円が交わる2点を直線でつなぐ この平行な直線は、今描いた2つの円の重なる部分の真ん中を貫くように通っているはずです。そして、この直線は、最初に描いた円の直径を表し、ステップ3で描いた直径(CD)と、狂いなく垂直に交わるはずです。
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    円の中心を見つける 2つの直径が交わる点が、正確な円の中心となります!円の中心にわかりやすく印をつけましょう。図をクリアにするために、直径と、最初に描いた円以外の円は消すと良いでしょう。
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方法 3 の 3:
定規と三角定規を使う

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    円に接する線(接線)を2本描く 円周上のどこでも結構ですが、2本の接線が作る角度が90度に近いと、後の工程が簡単になります。[5]
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    定規と三角定規を使い、2つの接線を円の反対側に平行移動する そうすると、4つの接線で、平行四辺形か長方形に近い形ができるはずです。
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    平行四辺形の対角線を引く この2つの対角線が交わる点が円の中心です。
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    円の中心が正しいかどうかコンパスで調べる 接線の平行移動や対角線の線引きが上手くできていれば、コンパスの針が円の中心に来るはずです。平行四辺形とその対角線はもう消しても大丈夫です。
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ポイント

  • 白紙やノート用紙の代わりに方眼紙を使いましょう。縦横のラインや升目があると、目安になって描きやすいでしょう。
  • 「平方完成」することによって計算で円の中心を求めることもできます。[6]円の方程式が分かっていて、物理的に円を描かずに円の中心を求めたい時に有益です。
  • 正確な角度の正方形が手元にあれば、その角を、中心を求めたい円の円周上に置き、円周上で直角に交わるように2つの直線を描きます。その2つの直線が円周と交わる2点(AとB)を結びます。同じことを円周上の別の点で行い、CとDを得たらそれらを結びます。ABとCDが交わる点が円の中心です。

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注意事項

  • 定規は物差しとは異なります。真っすぐで平らな表面のものなら何でも定規になり得ますが、物差しは長さを図るものです。定規に、インチやセンチメートルの単位を表記すれば、機能的な物差しとして使うことができます。
  • 「厳密な」円の中心を知るには、コンパスと定規を使用する必要があります。
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必要な物

  • 鉛筆
  • 定規
  • コンパス
  • 方眼紙

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カテゴリ: 数学
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