円の半径を求める方法

4 方法:直径がわかっている場合の半径の求め方円周がわかっている場合の半径の求め方面積がわかっている場合の半径の求め方円周上の3つの座標がわかっている場合の半径の求め方

円の半径とは、中心の点から円周までの長さです。直径とは、円周上の1点から中心を通って反対側の1点までの長さで、半径の2倍に等しい長さです。[1]与えられた他の部分の数値から半径を求める機会はよくあります。ここでは、直径、円周、面積がわかっているときの半径の求め方を説明します。さらに、円周上にある3つの座標から中心の座標と半径の長さを求める、上級編もお教えします。

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直径がわかっている場合の半径の求め方

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    直径とは何かであったかを思い出してみましょう。直径とは、円の中心を通る直線が円周と交わる2点の間の長さでした。直径は円を通る直線のうち最も長く、円を2等分するものです。また、直径は半径の2倍の長さです。直径を求める公式は、直径をD、半径をrとすると、D=2rで表されます。この公式は、半径を求める式r=D÷2に書き換えられます。
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    半径を求めるには、直径を2で割ります。直径がわかっている場合は、直径を2で割るだけで半径が求められます。
    • 例えば直径が4のとき、半径は4÷2=2で、2となります。

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円周がわかっている場合の半径の求め方

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    円周を求める公式を思い出してみましょう。円周とは、円の周りの長さのことです。それはつまり、円を切り開いてまっすぐ平らに伸ばした線の長さであるということもできます。円周Cを求める公式は、半径をr、円周率(3.14159...)をπとすると、C=2πrで表されます。円周から半径を求める公式は、r=C÷2πとなります。[2]
    • 一般的に円周率は小数点第2位まで(3.14)で四捨五入しますが、どの位で四捨五入するかは先生に確認してください。[3]
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    円周から半径を求めましょう。円周から半径を求めるには、円周を2πもしくは6.28で割ります。
    • 例えば円周が15の場合、半径はr=15÷2πで2.39となります。

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面積がわかっている場合の半径の求め方

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    円の面積を求める公式を思い出してみましょう。円の面積Aは、A=πr2で表すことができます。半径を求める式に書き直すと、r=√(A÷π)(半径は面積を円周率で割ったものの平方根に等しい)となります。[4]
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    面積の値を公式に代入してみましょう。例えば、円の面積が21の場合、公式に当てはめるとr=√(21÷π)となります。
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    面積を円周率π(3.14)で割ります。
    • 21÷3.14=6.69となります。
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    平方根は計算機を使って計算しましょう。その答えが半径となります。
    • この例では√6.69=2.59ですので、半径は2.59となります。

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円周上の3つの座標がわかっている場合の半径の求め方

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    3つの点から円を決定することができます。座標上の(一直線上にない)任意の3点が与えられれば、その3点すべてを通る円が1つ決定されます。その円の中心が、3点を結んでできる三角形の中にあるか外にあるかは3点の位置によりますが、その点を三角形の「外心」といいます。この円の半径は「外接円の半径」と呼ばれます。[5]3点の座標(x,y)がわかれば、半径を求めることができます。
    • 例えば、円周上に3つの点P1=(3,4)、P2=(6,8)、P3=(-1,2)があるとしましょう。
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    三角形の3辺の長さa、b、cを、2点間の距離の公式を使って求めましょう。2点間の距離の公式は、座標上の2点、(x1,y1)と(x2,y2)の距離を求めるものです。2点間の距離=√((x2-x1)2+(y2-y1)2)となります。与えられた座標をこの公式に代入して、三角形の3辺それぞれの長さを求めてみましょう。
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    まず点P1からP2までの辺aの長さを求めます。ここでは、点P1は(3,4)、点P2は(6,8)ですから、辺aの長さ=√((6-3)2+(8-4)2)で求められます。
    • a=√(32+42)
    • a=√(9+16)
    • a=√25
    • a=5
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    次の辺b(点P2から点P3)も同様に求めます。ここでは、点P2は(6,8)、P3は(-1,2)ですから、辺bはb=√((-1-6)2+(2-8)2)で求められます。
    • b=√(-72+(-62))
    • b=√(49+36)
    • b=√85
    • b=9.23
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    同様に、3つ目の辺c(点P3から点P1)を求めます。点P3は(-1,2)で点P1は(3,4)ですから、辺cの長さはc=√((3–(-1))2+(4-2)2)となります。
    • c=√(42+22)
    • c=√(16+4)
    • c=√20
    • c=4.47
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    こうして求めた3辺の長さを外接円の半径を求める公式、(abc)÷(√(a+b+c)(b+c-a)(c+a-b)(a+b-c))[6]に当てはめた結果が円の半径となります。
    • この三角形の各辺の長さは、a=5、b=9.23、c=4.47でした。したがって、半径を求める式は次のようになります。r=(5×9.23×4.47)÷(√(5+4.47+9.23)(4.47+9.23-5)(9.23+5-4.47)(5+4.47-9.23))
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    まず、3つの辺の長さを掛け合わせて分子を計算します。すると、上の式はこのようになります。
    • (a×b×c)=(5×9.23×4.47)=206.29
    • r=(206.29)÷(√(5+4.47+9.23)(4.47+9.23-5)(9.23+5-4.47)(5+4.47-9.23))
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    それぞれのカッコの中の値を計算して、上の式に戻します。
    • (a+b+c)=(5+4.47+9.23)=18.7
    • (b+c-a)=(4.47+9.23-5)=8.7
    • (c+a-b)=(9.23+5-4.47)=9.76
    • (a+b-c)=(5+4.47–9.23)=0.24
    • r=(206.29)÷(√(18.7)(8.7)(9.76)(0.24))
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    分母の値を計算します。
    • (18.7)(8.7)(9.76)(0.24)=381.01
    • r=206.29÷√381.01
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    平方根を計算して、分母の値を求めます。
    • √381.01=19.51
    • r=206.29÷19.52
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    最後に、分子を分母で割って半径を求めましょう。
    • r=10.57

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カテゴリ: 学び・コミュニケーション

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