平均速度を求める方法

平均速度の計算に必要なのは、変位（物体の位置がどれだけ変化したか）の合計とかかった時間の合計です。速度では速さに加えて向きも測定するため、「北向きに」「前に」「左向きに」など、向きも回答に含めることを忘れないようにしましょう。等加速度を含めた問題であれば、さらに簡単に解答を求められる方法もあります。

パート 1
パート 1 の 2:
変位と時間から平均速度を計算する

  1. Calculate Average Velocity Step 1というタイトルの画像
    1
    速度は「速さ」と「向き」を表す量であることを理解する　速度は、物体の位置の変化の割合を表しています。[1] つまり、物体がどれだけ早く移動しているかだけではなく、その方向も関係しているのです。「南に毎秒100m」と「東に毎秒100m」では異なる速度になります。
    • 向きを持つ量のことを「ベクトル量」と呼びます。[2] ベクトル量は変数の上に矢印を書くことで、向きを持たない「スカラー量」と区別されます。例えば、v は速さを表すのに対し、v→ は速度、つまり速さと向きを表します。[3] ただしこの記事内で v と表記されているとき、それは速度を意味しています。
    • 科学的な計算問題などであれば、m など距離を表すメートル法の単位を使用するべきですが、日常生活では好みの単位を使用して構いません。
  2. Calculate Average Velocity Step 2というタイトルの画像
    2
    合計変位を求める　変位とは、物体の位置の変化、または起点から終点までの距離と向きを意味します。[4] 物体が終点にたどり着く前に動いた場所は関係なく、注目するのは起点と終点間の距離のみです。最初の例題では、同じ向きに等速で動いている物体を使用して考えてみましょう。
    • ロケットが毎分120mの速さで北に向かって5分間移動したとします。公式 s = vt や一般常識から終点を計算すると、ロケットは最初の位置から (5分)(120m/分) = 北向きに600mの位置にいるはずだとわかります。
    • 等加速度を含めた問題であれば、 s = vt + ½at2 を解くか、以降のステップで紹介する、より簡単な方法を参照して解きましょう。
  3. Calculate Average Velocity Step 3というタイトルの画像
    3
    かかった時間の合計を求める　先ほどの例題では、ロケットは前方へ5分間移動しました。平均速度は時間の単位に関係なく求めることが可能ですが、「秒」が物理量の国際標準と決められています。この例題の場合には秒に変換しましょう。(5分) x (60秒/分) = 300秒となります。
    • 科学的な計算問題でも、問題で時間の単位として「時間」やさらに長い期間を表す単位が使われている場合には、まず速度を計算し、その解をm/秒に変換した方が簡単かもしれません。
  4. Calculate Average Velocity Step 4というタイトルの画像
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    変位を時間で割って平均速度を計算する　物体がどこまで移動したか、そして到達するまでにかかった時間が分かれば、その物体がどのくらいの速さで進んでいたかが求められます。[5] 先ほどの例題で考えると、ロケットの平均速度は (北向きに600m) / (300秒) = 北向きに2m/秒となります。
    • 向きを含めることを忘れないようにしましょう（「前に」「北向きに」など）。
    • 式で表すと、vav = Δs/Δt です。三角形の記号は変化量を表し、 Δs/Δt は「位置の変化量 / 時間の変化量」を意味しています。
    • 平均速度は vav や v の上に水平線を足して表します。
  5. Calculate Average Velocity Step 5というタイトルの画像
    5
    さらに複雑な問題を解く　物体が方向転換したり、速さを変えたとしても混乱する必要はありません。それらの要素が加わったとしても、平均速度は合計変位と合計時間のみで計算されます。起点から終点の間に起こる事柄は関係ありません。以下に挙げるいくつかの道のりの例は、全く同じ量の変位と時間を要し、したがってそれぞれの平均速度の値も等しくなっています。
    • アンナは西へ1m/秒で2秒間進み、瞬時に3m/秒へと加速しそのまま2秒間西へ歩きます。合計変位は (西向きに1 m/秒)(2 秒) + (西向きに3m/秒)(2秒) = 西向きに8m、となります。かかる時間は2秒＋2秒＝4秒で、彼女の平均速度は (西向きに8m)/4秒 ＝西向きに2m/秒です。
    • バートは西へ5m/秒で3秒間歩き、Uターンして東へ7m/秒の速さで1秒間歩きます。東へ進む動きを「西向きの負の運動」として捉えると、合計変位 = (西向きに5m/秒)(3秒) + (西向きに-7m/秒)(1秒) = 8m、となります。合計時間＝4秒であるため、平均速度= 西向きに8m/4秒 = 西向きに2m/秒になります。
    • シャーロットは北に1ｍ歩き、それから西に8m、南に1m歩きます。彼女がこの距離を歩くのににかかる時間の合計は4秒です。道のりを図で表すと、最初の位置から西に8ｍの地点にたどり着くことがわかり、変位は8ｍになります。合計時間は今回も4秒であるため、平均速度はこの問題でも変わらず、西向きに8m/4秒 = 西向きに2m/秒です。
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パート 2
パート 2 の 2:
等加速度から平均速度を計算する

  1. Calculate Average Velocity Step 6というタイトルの画像
    1
    初速度と等加速度に注目する　次のような問題を解いているとします。「バイクが右に向かって5m/秒で走り始め、2m/秒2で継続的に加速していきます。バイクが5秒間走ったとするとき、平均速度は何でしょう。」
    • m/秒2という単位の意味がわからない場合は、「m/秒/秒」や「メートル毎秒毎秒」と記しましょう。[6] 加速度2m/秒/秒とは、速度が1秒ごとに秒速2mずつ早くなっていくことを意味します。
  2. Calculate Average Velocity Step 7というタイトルの画像
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    加速度から終速度を求める　a で表される加速度は、速度（または速さ）の変化量を意味します。[7] この問題では速度は一定の増加率で上がっています。道のりの様々な地点での速度を求めるために、加速度を利用して表を作ってみましょう。本来は問題における最後の瞬間（t=5秒の時）の速度を求めなければなりませんが、この解き方の意味を理解しやすくするために他の秒数も表に加えます。
    • 最初（時間 t = 0秒）、バイクは右向きに5m/秒で走っています。
    • 1秒後（ t = 1）、バイクは5 m/秒 + at = 5 m/秒 + (2 m/秒2)(1秒) = 7 m/秒で走ります。
    • t = 2のとき、バイクは右向きに5+(2)(2) = 9 m/秒で走っています。
    • t = 3のとき、バイクは右向きに5+(2)(3) = 11 m/秒で走っています。
    • t = 4のとき、バイクは右向きに5+(2)(4) = 13 m/秒で走っています。
    • t = 5のとき、バイクは右向きに5+(2)(5) = 15 m/秒で走っています。
  3. Calculate Average Velocity Step 8というタイトルの画像
    3
    公式で平均速度を求める　加速度が一定であるとき、その場合に限り平均速度は終速度と初速度の平均と等しく、式で表すと (vf + vi)/2 となります。先ほどの例題では、バイクの初速度 vi は5 m/秒です。上のステップで計算したように、バイクは最後、終速度 vf=15 m/秒になります。それぞれの数値を当てはめると、 (15 m/秒 + 5 m/秒)/2 = (20 m/秒)/2 = 右向きに10 m/秒となります。
    • 今回の問題では「右向きに」というように、忘れずに向きを含めましょう。
    • 初速度は v0（t=0での速度）、 終速度はvで表すことができます。
  4. Calculate Average Velocity Step 9というタイトルの画像
    4
    平均速度の公式を感覚的に理解する　毎秒ごとにそれぞれの速度を割り出し、全ての速度の平均を出すと、平均速度が求められます（それが平均の定義です）。しかしその方法では膨大な計算時間を要することもあるため、もっと直感的な方法を代わりに見出してみましょう。毎秒ごとではなく、時間軸の2つの地点のみを選び、その速度の平均を求めてみることにします。1つ目の地点は、起点に近くバイクがゆっくりと走っている場所、2つ目は終着点に近くバイクが速く走っている場所です。このとき1つ目の地点から起点まで、2つ目の地点から終点までは同等の近さとします。
  5. Calculate Average Velocity Step 10というタイトルの画像
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    直感的理論を試してみる　時間ごとの速度については先ほど整理した表を参照しましょう。理論の規定に当てはまるペアは（t=0、t=5）、（t=1、t=4）、（t=2、t=3）などになります。整数ではない値を t に使用しても試算は可能です。
    • どの地点のペアを選んだとしても、それぞれのペアの2つの速度の平均は常に等しくなります。例えば、((5+15)/2)、((7+13)/2)、((9+11)/2)の解は全て「右向きに10 m/秒」です。
  6. Calculate Average Velocity Step 11というタイトルの画像
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    直感的解釈の結論を出す　仮に何かしらの方法で時間軸の全ての瞬間を用いてこの手法で平均速度を求めたとすると、それは合計時間の前半部分の速度と後半部分の速度の平均を割り出し続けることになります。前半後半の時間は等しいため、全ての計算を終えたとき、計算されていない速度は存在しません。
    • どのペアも等しい値の平均値になるため、全てのペアの平均速度からさらに平均速度を求めても、その値は変化しません。例題で考えると、それぞれのペアの平均速度である「右向きに10 m/秒」から平均速度を割り出しても、変わらず「右向きに10 m/秒」になります。
    • 例えば「初速度と終速度」など、どのペアを用いて平均値を割り出しても同じ値になります。例題での初速度と終速度は t=0 と t=5 のときであり、上記の公式を用いて計算すると(5+15)/2 = 右向きに10 m/秒、になります。
  7. Calculate Average Velocity Step 12というタイトルの画像
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    公式を数学的に理解する　公式として証明されている方が分かりやすい人は、等加速度だと仮定した道のりの数式から始め、そこから公式を導き出していきましょう。[8]
    • s = vit + ½at2（正確には Δs と Δt、または位置の変化と時間の変化ですが、s と t を使用しても問題ありません。）
    • 平均速度 vav は s/t で求められるため、s/t として式に代入します。
    • vav = s/t = vi + ½at
    • 加速度×時間＝速度の合計変化量、または vf - vi であるため、式中の「at」に代入すると次の式が得られます。
    • vav = vi + ½(vf - vi).
    • 数式を整理します。 vav = vi + ½vf - ½vi = ½vi + ½vf = (vf + vi)/2
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ポイント

  • 速度はベクトル量であり、速さはスカラー量であるため速度と速さは異なります。スカラー量は大きさのみを表すのに対し、ベクトル量では大きさに加えその方向も表します。
  • 左右の移動など、物体が一次元でのみ動く場合には、1つの方向（右など）を正の数と表し、もう片方の方向（左など）を負の数で表すことができます。読む人が分かりやすいように、ページ上部にこのことについて注釈を書いておきましょう。
  • 道のり上の特定の瞬間における速度を求めるには平均速度ではなく、瞬間速度を計算する必要があります。
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出典

  1. ↑ https://www.khanacademy.org/science/physics/one-dimensional-motion/displacement-velocity-time/a/what-is-velocity
  2. ↑ http://www.physicsclassroom.com/Class/1DKin/U1L1b.cfm
  3. ↑ https://www.khanacademy.org/science/physics/one-dimensional-motion/displacement-velocity-time/v/calculating-average-velocity-or-speed
  4. ↑ https://www.physicsclassroom.com/class/1DKin/Lesson-1/Distance-and-Displacement
  5. ↑ http://www.softschools.com/formulas/physics/average_velocity_displacement_over_time_formula/149/
  6. ↑ http://www.physicsclassroom.com/class/1DKin/Lesson-1/Acceleration
  7. ↑ https://www.physicsclassroom.com/Class/1DKin/U1L1e.cfm
  8. ↑ http://physics.stackexchange.com/questions/44685/why-is-average-velocity-the-midpoint-of-initial-and-final-velocity-under-constan

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