平方根を足し算・引き算する方法

平方根（ルート）の足し算・引き算では、ルート内の数字が同じ項どうしを足し引きします。つまり、2√3と4√3どうしは足し算・引き算ができますが、2√3と2√5は計算できないということです。ルート内の数字を簡単にすると、同類項をまとめたり、自由に足し引きできるようになる場合も多くあります。

パート 1 の 2:

基本を理解する

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できる限りルート内の項を簡単にします。ルート内の項を簡単にするため、因数分解して 25 (5 x 5) や 9 (3 x 3) といった完全平方を見つけましょう。それができたら、完全平方の平方根をルートの外に出し、残りの因数はルート内に残します。例として「6√50 - 2√8 + 5√12」を解いてみましょう。ルートの外の数を「係数」、中の数を「被開平数」といいます。各項を簡単にする方法は以下のとおりです。^{[1]
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出典文献}
- 「6√50 = 6√(25 x 2) = (6 x 5)√2 = 30√2」。ここでは「50」を因数分解して「25 x 2」にし、「25」は「5」の完全平方であることから「5」をルートの外に出し、「2」だけ中に残すという計算をしています。そして、「5」と初めからルートの外にあった「6」を掛け算し、新たな係数として30を得ています。
- 「2√8 = 2√(4 x 2) = (2 x 2)√2 = 4√2」。ここでは「8」を因数分解して「4 x 2」にし、「4」は「2」の完全平方であることから「2」をルートの外に出し、「2」だけ中に残すという計算をしています。そして、「2」と初めからルートの外にあった「2」を掛け算し、新たな係数として4を得ています。
- 「5√12 = 5√(4 x 3) = (5 x 2)√3 = 10√3」。ここでは「12」を「4 x 3」に因数分解し、「4」は「2」の完全平方であることから「2」をルートの外に出し、「3」だけ中に残すという計算をしています。そして、「2」と初めからルートの外にあった「5」を掛け算し、新たな係数として10を得ています。
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同じ被開平数を持つ項を丸で囲みます。問題の項の被開平数を簡単にすると、式は「30√2 - 4√2 + 10√3」となります。項どうしを足し引きするため、同類項、この例の場合では「30√2」と「4√2」を丸で囲みましょう。分数の足し算・引き算では同じ分母の項どうししか計算できませんが、それと同様な考え方です。^{[2]
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出典文献}
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より長い式を解く場合で、被開平数が同じペアが複数ある場合、最初のペアは丸で囲み、2つ目のペアには下線を引き、3つ目のペアには星印を付けるといった方法が取れます。また、項の順序を並べ替えると解を求めやすくなります。
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同じ被開平数を持つ項の係数を足し引きします。ここまでできたら、同じ被開平数を持つ項の係数を足し引きし、その他の項はそのまま残せば答えが求められます。被開平数を足し引きしてはいけません。計算の結果、何種類の被開平数があるかを示すことになります。被開平数が同じ項がなければ、その項はそのまま残しましょう。^{[3]
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出典文献}以下が計算の流れです。
- 「30√2 - 4√2 + 10√3」 =
- 「(30 - 4)√2 + 10√3」 =
- 「26√2 + 10√3」
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パート 2 の 2:

練習を積む

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例題１。「√(45) + 4√5」を解きます。以下が解き方です。
- 「√(45)」を簡単にします。因数分解すると「√(9 x 5)」が得られます。
- 次に、完全平方「9」があるので「3」をルートの外に出し、係数にします。つまり「√(45) = 3√5」となります。^{[4]
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  出典文献}
- そして、同じ被開平数を持つ2つの項の係数を足せば答えが求められます。「3√5 + 4√5 = 7√5」
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例題２。「6√(40) - 3√(10) + √5」を解きましょう。以下が解き方です。
- 「6√(40)」を簡単にします。「40」を素因数分解すると「4 x 10」なので、「6√(40) = 6√(4 x 10)」となります。
- 「4」は「2」の完全平方なので、これをルートの外に出し、元の係数を掛け合わせます。つまり、「6√(4 x 10) = (6 x 2)√10」となります。
- 2つの係数を掛け合わせると、「12√10」が求められます。
- 式は「12√10 - 3√(10) + √5」という形になりました。最初の2つの項は同じ被開平数を持つので、1項目から2項目を引いて、3項目はそのまま残します。
- 「(12-3)√10 + √5」という式が得られ、これを解くと「9√10 + √5」となります。
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例題３。「9√5 -2√3 - 4√5」を解きましょう。この問題では因数に完全平方が含まれないため、これ以上は項を簡単にできません。1つ目と3つ目の項はルートの中身が同じなので、係数どうしを足し引きできます（9 – 4）。被開平数は変わりません。2項目はルートの中の値が異なるので、答えは「5√5 - 2√3」となります。
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例題4。「√9 + √4 - 3√2」を解きましょう。解き方の手順は以下のとおりです。
- 「√9」は「√(3 x 3)」なので、「√9」は「3」に置き換えられます。
- 「√4」は「√(2 x 2)」なので、「√4」は「2」に置き換えられます。
- 単純に 3 + 2を計算し、5を算出します。
- 「5」と「3√2」は同類項ではないので、これ以上の計算はできません。「5 - 3√2」が最終的な答えになります。
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例題5。ルートを使った分数の足し算・引き算に挑戦しましょう。通常の分数と同様に、分母が同じ分数どうししか足し引きできません。「(√2)/4 + (√2)/2」を解いてみましょう。解き方は以下のとおりです。
- これらの項の分母を揃えます。「4」と「2」のどちらの分母でも割り切れる最小公倍数は「4」です。^{[5]
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  出典文献}
- 2項目 (√2)/2の分母が4になるよう、分子と分母に2/2を掛けます。「(√2)/2 x 2/2 = (2√2)/4」。
- 分母は変えず、分子どうしを足し算します。方法は通常の分数の足し算と変わりません。「(√2)/4 + (2√2)/4 = 3√2)/4」。
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