弧の長さを求める方法

共著者 : Mario Banuelos, PhD

数学における弧とは、円周の任意の一部です。^{[1]
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出典文献} 弧の長さとは、弧の両端を結ぶ曲線の長さです。弧の長さを求めるには、円に関する幾何学の知識を多少必要とします。弧は円周の一部であるため、弧の中心角が360°に対して占める割合が分かれば、弧の長さを簡単に求めることができます。

方法 1

方法 1 の 2:
中心角の大きさ（度数法）を用いる

1
弧の長さを求める公式を書く　弧の長さを求める公式は「 ${\text{弧の長さ}}=2\pi (r)({\frac {\theta }{360}})$ 」です。この式で、 $r$ は円の半径の長さ、 $\theta$ は弧の中心角の大きさ（度数法）を表します。^{[2]
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出典文献}
2
円の半径の長さを公式に代入する　半径の長さは問題文で与えられるか、測定することができるはずです。半径の長さを公式の変数 $r$ $r$ に代入しましょう。
- 例えば、円の半径が10cmの場合は、公式に代入すると次のようになります： ${\text{弧の長さ}}=2\pi (10)({\frac {\theta }{360}})$ 。
3
弧の中心角の大きさを公式に代入する　弧の中心角の大きさは問題文で与えられるか、測定することができるはずです。この公式を利用する際には、角度の単位はラジアンで（rad）はなく度（°）を用いる必要があります。公式の $\theta$ $\theta$ に中心角の大きさを代入しましょう。
- 例えば、弧の中心角が135°の場合は、公式に代入すると次のようになります： ${\text{弧の長さ}}=2\pi (10)({\frac {135}{360}})$ 。
4
半径に $2\pi$ を掛ける　電卓を使用しない場合は、近似的に $\pi =3.14$ $\pi =3.14$ として計算をするとよいでしょう。以下の例のように、半径に $2\pi$ $2\pi$ を掛けて、公式を書き換えましょう。なお、半径に $2\pi$ $2\pi$ を掛けた値は円周の長さを表します。^{[3]
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出典文献}
- 例：
  $2\pi (10)({\frac {135}{360}})$
  $2(3.14)(10)({\frac {135}{360}})$
  $(62.8)({\frac {135}{360}})$
5
弧の中心角の大きさを360で割る　円の角度は360°であるため、中心角の大きさを360で割ることで、弧の部分が円全体に対して占める割合を求めることができます。つまり、弧の長さが円周の長さに対して占める割合が分かります。
- 例：
  $(62.8)({\frac {135}{360}})$
  $(62.8)(0.375)$
6
ここまでのステップで求めた2つの値を掛け算する　ここまでのステップで求めた2つの値を掛け算すると、弧の長さが求まります。
- 例：
  $(62.8)(0.375)$
  $23.55$
  ゆえに、半径10cmの円における、中心角の大きさ135°の弧の長さは約23.55 cmです。
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方法 2

方法 2 の 2:
中心角の大きさ（弧度法）を用いる

1
弧の長さを求める公式を書く　弧の長さを求める公式は「 ${\text{弧の長さ}}=\theta (r)$ 」です。この式で、 $\theta$ は中心角の大きさ（弧度法）、 $r$ は円の半径の長さを表します。^{[4]
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出典文献}
2
円の半径の長さを公式に代入する　この方法で弧の長さを求めるには、半径の長さが分からなければなりません。半径の長さを公式の変数 $r$ $r$ に代入しましょう。
- 例えば、円の半径が10cmの場合は、公式に代入すると次のようになります： ${\text{弧の長さ}}=\theta (10)$ 。
3
弧の中心角の大きさを公式に代入する　この公式を利用するには、角度をラジアン（rad）で扱わなければなりません。中心角の大きさを度（°）で扱う場合は、この方法を利用することはできません。
- 例えば、中心角の大きさが2.36radの場合は、公式に代入すると次のようになります： ${\text{弧の長さ}}=2.36(10)$ 。
4
半径に中心角の大きさを掛ける　半径に中心角の大きさ（rad）を掛けると、弧の長さが求まります。
- 例：
  $2.36(10)$
  $=23.6$
  ゆえに、半径10cmの円における、中心角の大きさ23.6radの弧の長さは約23.6 cmです。
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ポイント

円の直径が分かっている場合も、弧の長さを求めることができます。弧の長さを求める公式には円の半径が用いられています。円の半径の長さは直径の長さの半分であるため、直径を2で割るだけで、半径を求めることができます。^{[5]
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出典文献} 例えば、直径14cmの円の半径は、14を2で割ると、
$14\div 2=7$
となることから、この円の半径は7cmと求まります。