直線とは異なり、曲線の傾きはグラフ上の各点ごとに異なります。微分の考えを用いれば、グラフの各点の傾き、または「瞬間の変化率」を求められます。接線はグラフ上の特定の点を通り、その点における傾きを持つ直線です。接線の方程式を求めるには、元の方程式の導関数の求め方を理解する必要があります。

方法 1 の 2:
接線の方程式を求める

  1. 1
    関数のグラフと接線(任意)を書きます。グラフを使うとより簡単に問題を解くことができ、答えが誤っていないか確認することもできます。必要に応じてグラフ電卓も使って、関数のグラフをグラフ用紙に書きます。与えられた点を通る接線も書きます(接線は与えられた点を通り、傾きはその点におけるグラフの傾きと等しいことを念頭におきましょう)。
    • 例1: 放物線のグラフを書きましょう。点(-6, -1)を通る接線を引きます。
      まだ接線の方程式は分かりませんが、傾きが負の値で、y切片も負の値(放物線の頂点におけるyの値は-5.5よりも小さい値)であることは分かります。求めた答えがこれらの要件に合わない場合、どこかに誤りがある可能性があることが分かります。
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    一次導関数をもとに接線の「傾き」を求めます。[1] 関数f(x)の一次導関数f'(x)は、f(x)上の任意の点における接線の傾きを表します。導関数を求める方法はいくつかあります。以下は微分法を用いた簡単な例です。[2]
    • 例1(続き): のグラフがあるとします。
      微分法を思い出し、導関数を求めます。
      一時導関数f'(x) = (2)(0.5)x + 3 - 0
      f'(x) = x + 3。この方程式のxに任意の数aを導入して、求めた値がx = aのときのf(x)の接線の傾きとなります。
  3. 3
    xに求める点の値を代入します。[3] 問題を読んで接線を求めるべき点の座標を見つけます。この点のx座標をf'(x)に代入します。求めた答えがこの点を通る接線の傾きです。
    • 例1(続き): 問題文で指定された点は(-6, -1)です。x座標の-6をf'(x)に代入しましょう。
      f'(-6) = -6 + 3 = -3
      接線の傾きは-3です。
  4. 4
    接線を点傾き型の方程式で表します。点傾き型の方程式はと表され、「m」が傾き、が接線上の点です。[4] この型で接線の方程式を書くのに必要な情報は、既に揃っています。
    • 例1(続き):
      直線の傾きは-3なので、となります。
      接線は点(-6, -1)を通るので、方程式はです。
      これを計算してまとめると、
      となります。
  5. 5
    方程式をグラフにします。グラフ電卓がある場合、元の関数と接線をグラフにし、答えが正しいか確認しましょう。グラフを紙に書く場合、先に書いたグラフを見て、ぱっと見で分かる誤りが無いか確認しましょう。
    • 例1(続き): 最初に書いたグラフから、接線の傾きは負の値であることと、y切片は-5.5より小さい値であることが分かります。求めた接線の傾き切片型の方程式はy = -3x -19なので、傾きは-3、y切片は-19です。これらのことは、最初の予想に合っています。
  6. 6
    さらに難しい問題に挑戦しましょう。手順全体をおさらいします。ここでは、のx = 2における接線を求めます。
    • 微分法を用いると、一時導関数が求められます。この関数で接線の傾きが分かります。
    • x = 2なので、を求めます。これがx = 2における傾きです。
    • 今回は点が与えられておらず、x座標しか分かりません。y座標を求めるため、x = 2を最初の関数に代入します:。従って点の座標は(2,27)です。
    • 点傾き型で接線の方程式を書きます。

      これを簡単にまとめると、y = 25x – 23となります。
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方法 2 の 2:
関連問題を解く

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    グラフ上の端点を求めます。グラフには極大値か極小値(他よりも一番高い点、または一番低い点)があります。これらの点では接線の傾きは必ず0(水平な線)となりますが、傾きが0だからといって必ずしも端点であるとは限りません。以下が端点の見つけ方です。[5]
    • 一時導関数f'(x)を求め、接線の傾きを調べます。
    • f'(x) = 0を解き、端点となり得る点を求めます。
    • 二次導関数f''(x)を求めます。これは、接線の変化率を示します。
    • 端点の可能性のある各点で、x座標「a」をf''(x)に代入します。f''(a)が正の値の場合、「a」で極小値になることを意味します。f''(a)が負の値の場合、極大値になることを意味します。f''(a) が0の場合、極地ではなく変曲点であることを意味します。
    • 「a」で極大値または極小値になる場合、f(a)を解いてy座標を求めます。
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    法線の方程式を求めます。曲線の「法線」とは、特定の点を通る線で、接線に垂直な直線のことです。法線の方程式を求めるには、グラフ上の同じ点を通る接線と法線の場合、(接線の傾き)(法線の傾き) = -1が成り立つことを活用します。[6] 求め方の手順は次のとおりです。
    • 接線の傾きであるf'(x)を求めます。
    • x = aの場合、f'(a)を解いてその点を通る接線の傾きを求めます。
    • を計算すると法線の傾きが分かります。
    • 法線の方程式を点傾き型で書きます。
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ポイント

  • 必要に応じて、まず元の方程式をf(x) = ...やy = ...といった通常の形に書き直しましょう。

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このwikiHow記事について

Jake Adams
共著者 ::
家庭教師、テスト対策専門家
この記事の共著者 : Jake Adams. 家庭教師として11年以上の経験を持つジェイク・アダムスは、カリフォルニア州マリブを拠点にSAT・ACT対策と大学受験カウンセリング、また幼稚園から大学の教科科目指導を提供している会社「PCH Tutors」の経営者です。また、カリフォルニア州在住の優れた家庭教師をクライアントに紹介するオンライン家庭教師仲介会社「Simplifi EDU」の最高経営責任者も務めています。ペパーダイン大学にて国際ビジネス・マーケティングの学士号を取得。
カテゴリ: 数学
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