方程式の傾きを求める方法

線の傾きは、変化の速度を示します。直線の場合、傾きは右への移動に対してどれだけ線が上に上がるか（正の傾きの場合）または下に下がるか（負の傾きの場合）を示します。傾きは曲線の接線に対しても使います。つまり、微分係数、あるいは「導関数」にも使うということです。いずれの場合も、傾きはグラフの「変化率」であり、変数「x」を大きくすると、「y」はどれだけ増えるか、ということを示すものだと理解しましょう。傾きは原因と結果を表すものだとも言えます。

方法 1 の 3:

一次方程式の傾きを求める

1
傾きを使って、直線がどれだけ急な角度か、どの向きか（上向きか下向きか）を判断します。直線の傾きは、一次方程式を作れれば簡単に分かります。この方法は以下の場合に使えます。
- 変数にべき指数が無い。
- 変数は2つのみで、いずれも分数ではない（例えば、 ${\frac {1}{x}}$ などではない）。
- 「a」と「b」を定数（3、10、-12、 ${\frac {4}{3}}$ 、 ${\frac {3}{5}}$ といった数）とし、方程式を $y=ax+b$ という形に書き換えることができる。^{[1]
  X
  出典文献}
2
通常「a」で表される、xの前の定数を求めると傾きが分かります。既に方程式が $y=ax+b$ $y=ax+b$ の形になっている場合、「a」の位置の数を見ます（xの前に数が書かれていない場合、傾きは1です）。それが傾きです。「a」の値には必ず変数（この場合はx）を掛け合わせます。次の例を見ましょう。
- $y=2x+6$ $y=2x+6$
  - 傾き = 2
- $y=2-x$ $y=2-x$
  - 傾き = -1
- $y={\frac {3}{8}}x-10$ $y={\frac {3}{8}}x-10$
  - 傾き = ${\frac {3}{8}}$ ^{[2]
    X
    出典文献}
3
傾きが明らかではない場合、方程式を計算して片方の変数が独立するようにします。足し算、引き算、掛け算などを用いて、変数、通常は「y」を独立させます。方程式の等号の片側を計算したら（3を加える等）、反対側も同じように計算しなければいけません。最終的に $y=ax+b$ $y=ax+b$ の形にすることを目指します。以下は計算例です。
- $2y-3=8x+7$ の傾きを求めます。
- $y=ax+b$ の形にします。
  - $2y-3+3=8x+7+3$
  - $2y=8x+10$
  - ${\frac {2y}{2}}={\frac {8x+10}{2}}$
  - $y=4x+5$
- 傾きを求めます：
  - 傾き = A = 4^{[3]
    X
    出典文献}
広告

方法 2 の 3:

2点から傾きを求める

1
方程式からではなく、グラフと 2点から傾きを求めます。グラフと線はあるけれど、方程式は分からないという場合でも簡単に傾きを求められます。線上の2点の座標さえ分かれば、それらを公式 ${\frac {y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}}$ ${\frac {y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}}$ に代入することで傾きが分かります。傾きを求める際、以下のことを念頭に置いて、答えが誤っていないか確認しましょう。
- 傾きが正の値の場合、グラフは右上がりの形になります。
- 傾きが負の値の場合、グラフは右下がりの形になります。
- 傾きの値が大きいほど、グラフは急な直線になります。傾きの値が小さい場合、より緩やかな線になります。
- 完全に水平な線の場合、傾きはゼロです。
- 完全に垂直な線の場合、傾きは定義されません。^{[4]
  X
  出典文献}
2
2点を求めて点(x,y) の座標で表します。グラフ（または問題文）から2点のx座標とy座標を求めます。直線が通る点であればどの2点でも構いません。例えば、点(2,4) と点(6,6)を通る直線があるとします。^{[5]
X
出典文献}
- どちらも、最初の数字がx座標、カンマの後の数字がy座標を意味します。
- 線上の各x座標ごとに対応するy座標があります。
3
対が崩れないように注意しながら、x₁、y₁、x₂、y₂に値を当てはめます。点(2,4)と点(6,6)を用いた上記の例の場合、以下のとおりとなります。
- x₁: 2
- y₁: 4
- x₂: 6
- y₂: 6^{[6]
  X
  出典文献}
4
2点を通る直線の傾きの公式に座標の値を入れて傾きを求めます。線上の2点を用いて傾きを求める公式は ${\frac {y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}}$ と表されます。これに4つの値を代入して計算しましょう。
- 元の座標： 点(2,4)と点(6,6)
- 傾きを求める公式に代入します。
  - ${\frac {6-4}{6-2}}$
- 計算して答えを求めます。
  - ${\frac {2}{4}}={\frac {1}{2}}$ = 傾き
5
2点を通る直線の傾きの公式の意味を理解しましょう。直線の傾きは「増加量の比」を意味し、垂直方向の増加量を水平方向の増加量で割った値です。垂直方向の増加量はy座標の変化量（Y軸は上下に値が変化します）で、水平方向の増加量はx座標の変化量（X軸は左右に値が変化します）です。
6
その他の傾きの表し方も見てみましょう。傾きを求める公式は ${\frac {y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}}$ です。これは変化量を意味するギリシャ文字「Δ（デルタ）」を用いて表すこともできます。傾きはΔy/Δxと表すこともでき、これは「yの変化量／xの変化量」を意味するため、2点を通る直線の傾きを求めるのと同じことです。

広告

方法 3 の 3:

微分を用いて曲線の傾きを求める

1
関数から微分係数を求める方法を復習しましょう。微分係数は「線の1点における」変化率（つまり傾き）を意味します。線は曲線でも直線でも構いません。線全体の傾きではなく、ある1点における変化率を考えます。微分係数の求め方は関数の種類によって異なるので、一般的な微分係数の求め方を復習してから以下を読み進めましょう。
- 一般的な多項式の微分係数は最も単純で簡単に求められます。以下ではこの方法を使っていきます。
2
微分係数を使って何を答えるべきなのか、質問の意図を理解します。必ずしもいつも曲線の微分係数や傾きそのものを聞かれるわけではありません。点(x,y)における変化率を聞かれる場合もあります。グラフの傾きの方程式を求められることもあり、その場合は導関数を答えます。また、「点(x,y)における接線の傾き」を聞かれることもあります。この場合は特定の点(x,y)における曲線の傾きを答えます。
- 例として、曲線 $f(x)=2x^{2}+6x$ の点(4,2)における傾きを求めましょう。^{[7]
  X
  出典文献}
- 導関数は通常f'(x)、y'、または ${\frac {dy}{dx}}$ と表記します。^{[8]
  X
  出典文献}
3
元の関数から導関数を求めます。グラフを書く必要はありません。元の関数、または方程式があれば求められます。例題の場合、 $f(x)=2x^{2}+6x$ $f(x)=2x^{2}+6x$ という関数を用います。ここでは導関数の求め方の説明は省略します。
- 導関数： $f'(x)=4x+6$
4
与えられた点の座標を導関数に代入して傾きを求めます。関数を微分すると、与えられた点における傾きを求めることができます。言い換えると、f’(x)は元の関数の任意の点(x,f(x))における傾きを示します。つまり、例題の場合では次のとおりになります。
- 曲線 $f(x)=2x^{2}+6x$ の点(4,2)における傾きを求めましょう。
- 導関数：
  - $f'(x)=4x+6$
- xに代入します：
  - $f'(x)=4(4)+6$
- 傾きを求めます：
- 曲線 $f(x)=2x^{2}+6x$ の点(4,2)における傾きは22です。
5
可能な限りグラフ上で求めた点を確認します。微分すると複雑な方程式やグラフの形状になる場合もあり、全ての点に傾きがあるわけではなく、全く傾きが存在しない場合もあります。できる限りグラフ電卓を使ってグラフの傾きを確認しましょう。それができない場合、与えられた点と求めた傾き（増加量の比）を用いて接線を引いてみて、おかしくないか確認しましょう。
- 接線は、傾きが曲線の傾きと等しい直線です。接線を引く場合、まず元の点から上（正の向き）または下（負の向き）に移動します（例題の場合、22上がります）。そこから右に1移動し、点を打ちます。2つの点(4,2)と(26,3)を結ぶと接線が引けます。
広告