最小公分母を求める方法

この記事には：倍数を列記する最大公約数を用いる分母を因数に分解し素数を求める整数や帯分数が混ざった式を計算する 6 出典

分母の異なる分数の足し算や引き算を行うには、まず用いられている分数に共通する最小公分母を見つける必要があります。つまり、与えられた計算式に含まれている分数の分母に共通している最も小さな倍数（それぞれの分母によって割ることのできる最も小さな整数）を見つけなければなりません。^[1]最小公倍数の求め方も参考になります。これは一般的に整数を指していますが、求め方は最小公分母と同じです。最小公分母を求めることで、分数の分母を揃え、足し算や引き算が行えるようになります。

方法 1
倍数を列記する

1
それぞれの分母の倍数を書き出す　計算式に含まれた分母それぞれの倍数を複数書き出してみましょう。1から順に掛け算を行って数を求めましょう。
- 例えば、1/2 + 1/3 + 1/5という式の答えを求める必要があるとしましょう。
- 2の倍数： 2 * 1 = 2、 2 * 2 = 4、 2 * 3 = 6、2 * 4 = 8、 2 * 5 = 10、 2 * 6 = 12、 2 * 7 = 14と続きます。
- 3の倍数： 3 * 1 = 3、 3 * 2 = 6、 3 *3 = 9、 3 * 4 = 12、 3 * 5 = 15、 3 * 6 = 18、 3 * 7 = 21と続きます。
- 5の倍数： 5 * 1 = 5、5 * 2 = 10、 5 * 3 = 15、 5 * 4 = 20、 5 * 5 = 25、 5 * 6 = 30、 5 * 7 = 35と続きます。
2
最小公倍数を見つける　書き出した倍数をざっと見比べて、全ての分母に共通しているものがないか探しましょう。共通の倍数が見つかったら、その中で最も小さなものをさらに見つけましょう。
- この段階で最小公倍数が見つからない場合は、さらに掛け算を続ける必要があります。
- この方法は、分母の数が小さい場合に特に適しています。
- 例えば、ここでは30が最小公倍数です（ 2 * 15 = 30、 3 * 10 = 30、 5 * 6 = 30）。
- 最小公分母は30ということになります。
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計算式を書き直す　分母の数が変わるので、それに合わせて分数も調整する（通分する）必要があります。つまり、最小公分母にするために分母に掛けた整数を分子にも掛けましょう。
- 例えば、(15/15) * (1/2)、 (10/10) * (1/3)、 (6/6) * (1/5)となります。
- その結果、 15/30 + 10/30 + 6/30 という計算式になります。
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書き直した計算式の答えを求める　最小公分母が見つかり、分子も合わせたので難なく計算が行えるようになっているはずです。約分は一番最後に行いましょう。
- 例えば 15/30 + 10/30 + 6/30 = 31/30 となり、 1 1/30が最終的な答えとなります。

方法 2
最大公約数を用いる^[2]

1
それぞれの分母の因数を全て書き出す　因数とは、その数字を割り切ることのできる、あらゆる整数を意味しています。^[3] 例えば6であれば、6、3、2、1となります（全ての数字は1で割り切ることができるため、1という因数が含まれています。）
- 例えば、3/8 + 5/12という式があると仮定しましょう。
- 8の因数は 1、 2、 4、そして 8となります。
- 12の因数は1、2、3、4、 6、12となります。
2
書き出した数字の中から最大公約数を見つける　それぞれの分母の因数を書き出したら、共通のものを丸で囲みましょう。その中で最も大きいものが最大公約数となり、後で必要になります。
- 例題では、8と12にの公約数を求めるので、1、2、そして4となります。
- 4が最大公約数となります。
3
分母同士を掛ける　最大公約数を用いる際は、式に含まれている分数の分母をまず掛ける必要があります。
- 例題を引き続き用いると、まず8 * 12 = 96となります。
4
さらに最大公約数で割る　2つの分母を掛けたら、その答えを最大公約数で割りましょう。それが最小公分母となります。
- つまり、 96 / 4 = 24となります。
5
最小公分母を元の分母の数で割る　最小公分母を元の分母の数で割り、分母を合わせるために必要な倍数を見つけましょう。その倍数を分子と分母に掛けます。その結果、どちらの分数の分母も最大公分母で揃うはずです。
- 例えば、 24 / 8 = 3、さらに 24 / 12 = 2となります。
- 従って (3/3) * (3/8) = 9/24、さらに (2/2) * (5/12) = 10/24となります。
- 最終的に9/24 + 10/24という式になります。
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答えを求める　最大公分母が見つかったので、難なく分数の足し算や引き算を行う準備が整いました。約分が必要な場合は一番最後に行いましょう。
- 例題の場合は 9/24 + 10/24 = 19/24となります。

方法 3
分母を因数に分解し素数を求める^[4]

1
分母を素数に分解する　それぞれの分母の桁を素数に分解しましょう（その素数を掛けると元の数字になります）。素数とは他の数字で割ることのできない数字を指します。^[5]
- 例えば、1/4 + 1/5 + 1/12といいう計算問題があるとしましょう。
- 4を素因数分解すると 2 * 2となります。
- 5を素因数分解すると 5となります。
- 12を素因数分解すると 2 * 2 * 3 となります。
2
それぞれの因数分解で同じ素数が現れる頻度を数える　分母の桁の因数分解において現れる素数の回数を数えましょう。
- 例えば、4には2が2回、5には2がゼロ回、12には2が2回含まれています。
- 4と5には3がゼロ回、12には3が1回含まれています。
- 4と12には5がゼロ回、5には5が1回含まれています。
3
それぞれの素数が用いられた最も多い回数を書き出す　それぞれの分母に含まれる素数が最も多く用いられた回数を書き出しましょう。
- 例えば、2が最も多く用いられた回数は2、3が最も多く用いられた回数は1、5が最も多く用いられた回数は1となります。
4
1つ前の手順で数えた回数分の素数を書き出す　現れた回数分の素数を書き出すのではありません。1つ前の手順で求めた最も多い回数（2が2回、3と5がそれぞれ1回）だけ書き出しましょう。
- つまり2、 2、 3、 5となります。
5
書き出した素数を掛ける　1つ前の手順で書き出した素数を掛けましょう。その答えが元の計算式の最小公分母となります。
- つまり2 * 2 * 3 * 5 = 60となります。
- 従って 60が最小公分母となります。
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最小公分母を元の分母の数で割る　最小公分母を元の分母の数で割り、分母を揃えるために必要な倍数を求めましょう。その数字を分母と分子の両方に掛けます。最終的に分母は全て60になるはずです。
- 例えば、60/4 = 15、 60/5 = 12、 60/12 = 5となります。
- 従って、15 * (1/4) = 15/60、12 * (1/5) = 12/60、 5 * (1/12) = 5/60となります。
- 同じ倍数を分子にも掛けて、15/60 + 12/60 + 5/60という計算式になります。
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答えを求める　最小公分母が見つかったので、通常通りに分数の足し算や引き算が行えるようになります。約分は一番最後に行いましょう。
- 例題では15/60 + 12/60 + 5/60 = 32/60 = 8/15が最終的な答えとなります。

方法 4
整数や帯分数が混ざった式を計算する^[6]

1
整数と帯分数を仮分数に直す　帯分数の場合は、整数と分母を掛けた数を分子に加えます。整数の場合は、1という分母を加えることで仮分数に直しましょう。
- 例として 8 + 2 1/4 + 2/3という計算問題があると仮定しましょう。
- 8 は 8/1と直すことができます。
- 2 1/4は、 2 * 4 + 1 = 8 + 1 = 9となるので 9/4です。
- 計算式を書き直すと 8/1 + 9/4 + 2/3となります。
2
最小公分母を見つける　ここまでで説明した方法のいずれかを用いて、最小公分母を求めましょう。この例題では、倍数を書き出す方法を再度用います。それぞれの分母の倍数から最小公倍数を見つけましょう。
- どの数を1で掛けても数は変わらないので、1の倍数を書き出す必要はありません。つまり、あらゆる数は1の倍数ということになります。
- 例えば、 4 * 1 = 4、4 * 2 = 8、 4 * 3 = 12、 4 * 4 = 16と続きます。
- 同様に、3 * 1 = 3、 3 * 2 = 6、 3 * 3 = 9、 3 * 4 = 12と続きます。
- その結果 12が最小公分母となります。
3
計算式を書き直す　もとの分母を最小公分母に直すために掛ける数を分子にも掛けましょう。
- 例えば、(12/12) * (8/1) = 96/12、 (3/3) * (9/4) = 27/12、(4/4) * (2/3) = 8/12となります。
- 計算式を96/12 + 27/12 + 8/12と書き直すことができます。
4
答えを求める　最小公分母が分かり、計算式を書き直すことができれば、難なく答えを求められるでしょう。約分は一番最後に行いましょう。
- 例えば、96/12 + 27/12 + 8/12 = 131/12 = 10 11/12という答えになります。