比を計算する方法

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「比」とは数学の表現で、二つ以上の数字を比較する時に使います。絶対値や絶対量を比べることも、全体に対する一部の割合を比べることもできます。比の計算や表記にはさまざまな手法がありますが、基本的な使い方はどれも同じです。

パート 1

パート 1 の 3:

比を理解する

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比がどのように使われているかを知る　比は数量を比較するための方法であり、学問の世界でも普段の生活でも使われています。最も単純な比は二つの値を比較したものですが、三つ以上の値を比べることもあります。比は、複数の異なる数値や数量を比較するあらゆる場面で応用できます。分量を互いの比で表すと、化学式を２倍にしたりレシピの分量を増やしたりすることも可能です。いったん理解すれば一生使えます。^{[1]
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出典文献}
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比の意味を理解する　上で述べたように、比は二つ以上の物の数量を互いの関係で表します。例えば、あるケーキに2カップの小麦粉と1カップの砂糖が使われているとすると、小麦粉と砂糖の割合は2対1になります。
- 比を用いれば、一方の値を基準値とすることなく、あらゆる数量を互いの関係で表すことができます（ただし、レシピでは一方が基準値となります）。例えば、クラスに5人の女子と10人の男子がいたとしましょう。女子と男子の比は5対10ですが、互いに数値を拘束しているわけではないので、誰かが転校したり新しい生徒が入ってきたりすれば、男女比は変わります。比は単に数量を比較しているにすぎません。
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さまざまな表現方法を知る　比は言葉でも数学の記号でも表せます。^{[2]
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出典文献}
- 一般的に比は、前の例ように言葉で表現します。日常的にいろいろな場面で使われているので、数学や化学の分野が職場でなければ、言葉の形で比を目にすることがほとんどでしょう。
- コロンを使う表現もよくあります。二つの数字を比で表す時にはコロンを一つ使って「7：13」と表し、二つ以上の数字を比較する時には「10：2：23」のように、それぞれの数字の間にコロンを入れます。上記のクラスを例に取ると、男子と女子の人数を「女子5：男子10」と比較します。単に「5：10」とも表現できます。
- 比を分数で表現することもあります。クラスの例では、女子5人と男子10人を簡略に5/10と表現します。しかし、分数と同じ読み方はせず、この数字は全体に対する割合ではないことに留意する必要があります。
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パート 2

パート 2 の 3:

比を使う

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比を簡素な整数比に直す　比も分数同様に項（各数値）の公約数を使って簡素化できます。比を最小の整数比にするには、全ての項を最大公約数で割ります。この時に重要なのは、比で表されている数値の本来の数量を忘れないことです。^{[3]
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出典文献}
- 上のクラスの例で、女子5人対男子10人（5：10）はどちらの項にも約数「5」があります。最大公約数である5で割ると、女子1人対男子2人（1：2）になります。しかし、簡素化された比を使っていても、最初の数を覚えておく必要があります。クラスの生徒は全部で3人ではなく15人です。簡素化した比は男女の人数の関係を比べているにすぎません。男子2人に対して女子が1人であって、男子が2人に女子が1人ではありません。
- 簡素化できない比率もあります。例えば、3：56には公約数がないので簡素化できません。3は素数であり、56を3で割ることはできません。
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掛算や割算で比を拡大または縮小する　比を使った問題でよく見られるのが、二つの数値を同じ割合のまま増減させるというものです。各項に同じ数を掛ける、または同じ数で割ると、元の比と同じ割合になる数を求めることができます。したがって、比を拡大縮小するにはスケール因子（尺度を決める数）を比に掛けるか、またはスケール因子で比を割ります。^{[4]
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出典文献}
- 例えば、ケーキ職人がレシピの分量を3倍にする必要があるとします。普段の比が小麦粉2に対して砂糖が1（2：1）だとすると、どちらの数字も3倍しなければなりません。そうすると、このレシピでの正しい分量は、小麦粉6カップに砂糖が3カップ（6：3）になります。
- 同じ手順で逆のことができます。普段の半分の量でよければ、1/2 を掛けるか２で割ります。必要な量は、小麦粉1カップに対して砂糖が1/2カップになります。
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二つの同じ比の数値から変数を求める　比を使った問題でよくあるタイプは、一組の比と、同じ比率の片方の数字だけを与えられて、隠された変数を求めるものです。「たすきがけ」の原則を使うと、こうした問題は簡単に解けます。それぞれの比を分数の形で並べて書き、左の分子と右の分母、左の分母と右の分子を掛けた数値をイコールで結んで変数を導きます。^{[5]
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出典文献}
- 例えば、男子2人と女子5人の小さなグループがあるとします。女子20人のクラスでこの割合を保持するには男子は何人になるでしょう？　解き方はこうなります。最初に、変数を使って二つの比を表します。男子2人：女子5人＝男子X人：女子20人。この比を分数の形にすると、2/5=x/20 となります。たすきがけをすると5X=40となり、両辺を5で割ってXを求めます。答えはX=8です。
専門家情報

Grace Imson, MA
数学講師（サンフランシスコ短期大学）
グレース・イムソンは40年の教職歴を持つ数学教師です。セントルイス大学数学科での勤務を経て、現在サンフランシスコ短期大学にて数学講師を務めています。小中学、高校、そして大学と、あらゆるレベルの生徒を対象に数学の授業を行ってきました。セントルイス大学にて教育学（監督・管理専攻）の修士号を取得しています。

Grace Imson, MA
数学講師（サンフランシスコ短期大学）

文章題では分子と分母を見極めるため、項の順序に注意しましょう。大抵の場合、最初の項は分子で、２つ目が分母です。例えば、物体の長さと幅の比を求める問題では、長さが分子で幅が分母となります。

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パート 3

パート 3 の 3:

間違いを見つける

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比の問題では足し算や引き算を使わない　文章問題の多くは次のようなものです。「ある料理にじゃがいも4個と人参5本必要です。じゃがいもを8個使うとすると、同じ比にするには人参は何本必要でしょう？」生徒の多くが両方に同じ数を足そうとします。比を同じに保つには、実際には足し算ではなく掛け算が必要です。この問題の間違った解き方と正しい解き方の例を以下に示します。
- 間違った解法：「8-4=4。つまり、じゃがいもを4個増やした、ということは、人参5本にも４を足せば……、いや、待って！　比の仕組みはこうではありません。やり直し」
- 正しい解法：「8÷4=2。つまり、じゃがいもの数に2を掛けたのだから、人参5本にも2を掛けます。5×2=10。したがって、全部で10本の人参が必要です」
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単位を揃える　単位が異なる数値を入れて引っ掛ける文章問題もあります。比を求める前に単位を変換して揃えましょう。例題と解答を以下に示します。
- 龍が500グラムの金と10キログラムの銀を持っています。龍の宝庫にある金と銀の比はいくつでしょう？
- グラムとキログラムは同じ単位ではないので、変換する必要があります。1キログラム＝1000グラムなので、10 kilograms = 10 kilograms x ${\frac {1,000grams}{1kilogram}}$ = 10 x 1,000 grams = 10,000 gramsとなります。
- 龍は500グラムの金と10,000グラムの銀を持っています。
- 金と銀の比はこうなります。
  ${\frac {500gramsGold}{10,000gramsSilver}}={\frac {5}{100}}={\frac {1}{20}}$
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問題文に単位を書き込む　比の文章題では、それぞれの数値に単位を書き込むと間違いに気付きやすくなります。分数の分子と分母が同じ単位の場合には相殺できることを覚えておきましょう。相殺できる単位を全て消した後に残った単位が正解の単位です。
- 例題：箱が6個あります。3箱毎におはじきが9つあるとすると、おはじきは全部でいくつでしょう？
- 間違った解法： $6boxes*{\frac {3boxes}{9marbles}}=...$ 待って！　これでは単位が何も相殺できないので、答えが「箱×箱/個」になり、意味を成しません。
- 正しい解法：
  $6boxes*{\frac {9marbles}{3boxes}}=$ $6boxes*{\frac {3marbles}{1box}}=$
  
  ${\frac {6boxes*3marbles}{1box}}=$ ${\frac {6*3marbles}{1}}=$ おはじき18個
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Grace Imson, MA
数学講師（サンフランシスコ短期大学）
グレース・イムソンは40年の教職歴を持つ数学教師です。セントルイス大学数学科での勤務を経て、現在サンフランシスコ短期大学にて数学講師を務めています。小中学、高校、そして大学と、あらゆるレベルの生徒を対象に数学の授業を行ってきました。セントルイス大学にて教育学（監督・管理専攻）の修士号を取得しています。

Grace Imson, MA
数学講師（サンフランシスコ短期大学）

どちらの数字を分子にするかを見極めることが大切です。大抵の場合、文章題では最初に出てくる項目が分子、次に出てくるのが分母となるのが一般的です。例えば物体の「長さ」と「幅」の比を求める場合、「長さ」が分子で「幅」が分母、となります。

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