波長の計算方法

この記事の内容既知の速さと振動数から波長を計算する光子のエネルギーが既知の場合の波長を求める間違いがないか確認する関連記事参照

波長は、1つの波1周期でのピーク間の距離であり、電磁スペクトルと普遍的に関係があります。^[1] 波長の計算方法は、既知の情報によって異なります。波の速さと振動数が分かっている場合は、基本的な公式を用いて波長を求めることができます。特定の光子エネルギーを持つ光の波長を求めたいならば、光エネルギーの式を利用できます。正しい式を理解しさえすれば、波長の計算は簡単です。

パート 1
既知の速さと振動数から波長を計算する

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波長の式を用いて波長を計算する　波の波長を求めるには、波の速さをその振動数で割るだけです。波長の式は次の通りです。 ${\text{波長}}={\frac {\text{波の速さ}}{\text{振動数}}}$ ^[2]
- 波長は、通常ギリシャ文字の $\lambda$ （ラムダ）で表されます。
- 速さは、通常アルファベットの $v$ で表されます。
- 振動数は、通常アルファベットの $f$ で表されます。
- $\lambda ={\frac {v}{f}}$
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正しい単位を用いる　速さは、メートル法でもヤード・ポンド法でも表記することができます。例えば、「マイル毎時（mile/h）」、「キロメートル毎時（km/h）」、「メートル毎秒（m/s）」などのように表記されます。ほぼ全ての場合において、波長にはメートル法（nm、mm、ｍなど）が用いられます。一般的に、振動数は、「1秒あたり」を意味するHz（ヘルツ）で表記されます。^[3]
- 計算式の中では、常に単位を揃えましょう。ほとんどの場合において、メートル法のみを用いて計算が行われます。
- 振動数の単位がkHz（キロヘルツ）や波の速さの単位がkm/sである場合は、それぞれの数値に1000をかけて、単位をHzとm/sに換算しなければなりません（10kHz = 10,000 Hz）。
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既知の値を式に代入して解く　波の波長を求めたい場合は、波の速さと振動数を波長の式に代入しましょう。速さを振動数で割ると波長が求まります。^[4]
- 例：速さ20 m/s、振動数5 Hzで進む波の波長を求めましょう。
  - ${\text{波長}}={\frac {\text{波の速さ}}{\text{振動数}}}$
    $\lambda ={\frac {v}{f}}$
    $\lambda ={\frac {20m/s}{5Hz}}$
    $\lambda =4m$
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波長の式を使って波の速さや振動数を求める　波長が既知であるならば、この式を変形して、速さや振動数を求めることができます。振動数と波長が既知であり、速さを求めたいならば、次の式を利用しましょう。 $v={\frac {\lambda }{f}}$ 　速さと波長が既知であり、振動数を求めたいならば、次の式を利用しましょう。 $f={\frac {v}{\lambda }}$ ^[5]
- 例：波長450 nm、振動数45 Hzの波の速さは次のように求められます。 $v={\frac {\lambda }{f}}={\frac {450nm}{45Hz}}=10nm/s$
- 例：波長2.5 m、速さ50 m/sの波の振動数は次のように求められます。 $f={\frac {v}{\lambda }}={\frac {50m/s}{2.5m}}=20Hz$

パート 2
光子のエネルギーが既知の場合の波長を求める

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光エネルギーの式で波長を求める　波長を含む光エネルギーの式は $E={\frac {hc}{\lambda }}$ で表されます。式中の $E$ は系のエネルギー（単位はジュール［J］）、 $h$ はプランク定数（6.626 x 10^-34 ジュール秒 [J s ]）、 $c$ は真空中での光の速さ（3.0 x 10⁸ メートル毎秒[m/s]）、 $\lambda$ は波長（単位はm）を表します。^[6]
- 通常、このタイプの問題を解く際には、光子のエネルギーが与えられます。
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式を変形して波長を求める　代数的に式を変形して、波長を求めることができます。式の両辺に波長をかけて、さらに両辺をエネルギーで割れば、式を $\lambda ={\frac {hc}{E}}$ のように変形できます。エネルギーが既知であれば、波長を求めることができます。^[7]
- この式は、金属をイオン化するのに必要な最大波長を求めるのにも用いられます。イオン化に必要なエネルギーを代入して、対応する波長を求めるだけです。^[8]
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既知の値を代入して解く　式を変形したら、既知のエネルギーの値を代入して、波長を求めることができます。他の2つの変数は定数であるため、常に一定です。波長を求めるには、この2つの定数を掛け合わせて、それをエネルギーで割ります。^[9]
- 例：エネルギー2.88 x 10^-19 J の光の波長を求めましょう。
  - $\lambda ={\frac {hc}{E}}$
    = ${\frac {(6.626*10^{-34})(3.0*10^{8})}{(2.88*10^{-19})}}$
    $={\frac {(19.878*10^{-26})}{(2.88*10^{-19})}}$
    $=6.90*10^{-7}m$
  - この値に10⁹を掛けて、mをnm（ナノメートル）に変換すると、波長は690 nmと求まります。

パート 3
間違いがないか確認する

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波長と振動数を掛け合わせて解答を確認する　求めた波長の値が正しければ、それに振動数を掛けると、始めに与えられた波の速さと等しくなるはずです。そうならなければ、自分の計算を確認しましょう。電卓を利用している場合は、正しい数字を押しているかを確認しましょう。
- 例：振動数70 Hz、343 m/sの速さで進む音波の波長はいくつでしょうか？
  - 上記の手順にしたがって計算すると、4.9 mが導かれます。
  - この計算が正しいかを確認するには、「4.9 m x 70 Hz」を計算します。結果は343 m/sとなり、これは始めに与えられた速さと同じであるため、計算が正しいことが分かります。
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指数表記を用いて電卓の丸め誤差を防ぐ　波長の計算では、非常に大きな桁数の数を頻繁に取り扱います（光速が計算式に入っている場合は特に）。これは、電卓の丸め誤差の原因となります。数字の表記に指数を用いて、この誤差が発生するのを防ぎましょう。^[10]
- 例：光は水中を約225,000,000 m/sの速さで進みます。この光の振動数が4 x 10¹⁴ Hzである場合は、波長はいくつでしょうか？
  - 波（光波）の速さを指数表記で表すと2.25 x 10⁸になります。振動数は既に指数表記で記述されています。
  - ${\text{波長}}={\frac {\text{波の速さ}}{\text{振動数}}}$
    $={\frac {2.25*10^{8}}{4*10^{14}}}={\frac {2.25}{4*10^{6}}}$
    $=0.563*10^{-6}m$
    $=5.63*10^{-7}m$
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波が別の媒体に進入しても振動数を変えない　波がある媒体から別の媒体へと境界を越えて進入する現象に関する問題は頻繁に出題されます。この種の問題でよくある間違いは、新しく振動数を計算してしまうことです。実際は、波が境界を越えて別の媒体に進入したときに変わるのは波長と速さであり、振動数は変わりません。^[11]
- 例：振動数「f」、速さ「v」、波長「λ」の光波が空気から屈折率1.5の媒体へと進入します。このとき各値はどのように変わるでしょうか？
  - 媒体内での速さは、 ${\frac {v}{1.5}}$ になります。
  - 振動数は、媒体内でもfで変わりません。
  - 媒体内での波長は、 ${\frac {\text{媒体内での速さ}}{\text{媒体内での振動数}}}={\frac {\frac {v}{1.5}}{f}}={\frac {v}{1.5f}}$ と求めることができます。