球の半径(変数rRとして表されます)とは、球のちょうど中心から球の表面のある一点までの距離のことです。の半径と同様に、大抵の場合、球の半径は直径や円周の長さ、表面積、体積などを計算するための足がかりとなる、必須の情報となります。しかし、直径や円周の長さなどから、球の半径を求めることもできます。わかっている情報を使える公式を用いましょう。

方法 1 の 3:
半径を計算する公式を使う

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    直径がわかっている場合に半径を求めましょう。半径は直径の半分ですので、r = D/2の公式(/は除算記号)を使いましょう。これは、直径から円の半径を計算する際に使った方法と一緒です。[1]
    • 直径16 cmの球であれば、16/2で8 cmと半径を求めましょう。直径が42であれば、半径は21です。
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    円周がわかっている場合に半径を求めましょう。公式C/2πを使いましょう。円周の長さはπDで、つまり2πrと等しいので、円周の長さを2πで割れば半径になります。[2]
    • 円周が20 mの球であれば、半径は20/2π = 3.183 mと求めましょう。
    • 円における半径と円周間の換算と同じ公式を使いましょう。
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    球の体積がわかっている場合に半径を求めましょう。((V/π)(3/4))1/3の公式を使いましょう。[3]球の体積はV = (4/3)πr3から得られます。この式から変数rを求めると、((V/π)(3/4))1/3 = rとなり、つまり球の半径は体積をπで割り、3/4をかけて、全体を1/3乗する(あるいは立方根をとる)のと等しくなります。[4]
    • 100 cm3の体積の球であれば、以下のようにして半径を求めましょう。
      • ((V/π)(3/4))1/3 = r
      • ((100/π)(3/4))1/3 = r
      • ((31.83)(3/4))1/3 = r
      • (23.87)1/3 = r
      • 2.88 cm = r
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    表面積から半径を求めましょう。公式r = √(A/(4π))を用いましょう。球の表面積は、A = 4πr2から得られます。変数rを求めると、 √(A/(4π)) = rとなり、つまり球の半径は表面積を4πで割ったものの平方根となります。(A/(4π))を1/2乗しても、同じ結果が得られます。[5]
    • 表面積が1,200 cm2の球であれば、以下のようにして半径を求めましょう。
      • √(A/(4π)) = r
      • √(1200/(4π)) = r
      • √(300/(π)) = r
      • √(95.49) = r
      • 9.77 cm = r
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方法 2 の 3:
鍵となる概念の定義を理解する

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    球に関する基本的な量について知りましょう。半径(r) は球のちょうど中心から球の表面のある一点までの距離のことです。一般的には、直径や円周、体積、表面積がわかっていれば、球の半径を求められます。
    • 直径 (D): 球の長さ – 半径の2倍。直径は球の中心を通る線の長さで、球の表面の一点から対応する反対側の点までの距離です。言い換えれば、球の2点間の距離のうち、最も長い距離になります。
    • 円周 (C): 最も長い、球の周りの1次元の長さ。言い換えれば、中心を通る面での球の断面図の周囲の長さになります。
    • 体積 (V): 球に取り囲まれた3次元空間の大きさ。これが「球が占める空間」です。[6]
    • 表面積 (A): 球の外側の表面の、2次元の面積。球の外側を覆っている平坦空間の量。
    • 円周率 (π): 円の直径に対する円の周長の比率を表す定数。厳密には円周率の最初の10桁は3.141592653ですが、たいてい近似値3.14とされます。
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    色々な量を使って半径を求めましょう。直径や円周、体積、表面積を使って球の半径を計算することができます。半径の長さ自体がわかっていれば、これらの値を計算することもできます。ですから、半径を求めるために、これらの値を計算する公式を逆に変換してみましょう。半径を使って直径や円周、体積、表面積を求める公式を学びましょう。
    • D = 2r  と同様に、球の直径は半径の2倍です。
    • C = πD か 2πr と同様に、球の周長は直径にπをかけたものです。直径は半径の2倍ですから、半径にπをかけたものの2倍と言うこともできます。
    • V = (4/3)πr3 球の体積は半径の3乗(半径×半径×半径)に、πをかけたものの、4/3倍です。[7]
    • A = 4πr2 球の表面積は半径の2乗(半径×半径)に、πをかけたものの、4倍です。円の面積はπr2ですから、球の表面積は、その外周でできる円の面積の4倍とも言えます。
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方法 3 の 3:
2点間の距離として半径を求める

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    球の中心の座標(x,y,z)を求めましょう。球の半径についての考え方の1つに、球の中心と球の表面の任意の点との距離として捉える方法があります。これは正しいので、球の中心と表面の任意の点の座標がわかっていれば、距離に関する基本的な公式を少し変形して、2点間の距離を計算するだけで球の半径を求めることができます。まず、球の中心の座標を求めましょう。球は3次元ですので、中心座標は(x,y)ではなく(x,y,z)となることに注意しましょう。
    • このやり方は例を見ながら考えると理解しやすいでしょう。中心座標(x,y,z)が(4, -1, 12)の球があるとしましょう。この座標を使って、数ステップで半径を求めることができます。
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    球の表面にある点の座標を求めましょう。次に、球の表面の(x,y,z)座標を求める必要があります。これは球の表面であれば「どの」点でも構いません。定義上、球の表面の点はどれも中心から等距離にありますので、半径を決めるにはどの点でも構いません。
    • 先ほどの例題を解くのに、点(3, 3, 0)が球の表面にあるとしましょう。この点と中心間の距離を計算することで、半径を求められます。
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    公式d = √((x2 - x1)2 + (y2 - y1)2 + (z2 - z1)2)を使って半径を求めましょう。球の中心と表面の1点の座標がわかっているので、この2点間の距離を計算すれば半径がわかります。dを距離、(x1,y1,z1) (x1,y1,z1) を中心の座標、(x2,y2,z2)を球の表面上の座標として、3次元における距離の公式d = √((x2 - x1)2 + (y2 - y1)2 + (z2 - z1)2)を使って2点間の距離を求めましょう。
    • 先ほどの例題では、(x1,y1,z1) に(4, -1, 12)、(x2,y2,z2)に(3, 3, 0)をあてはめ、以下のように解きます。
      • d = √((x2 - x1)2 + (y2 - y1)2 + (z2 - z1)2)
      • d = √((3 - 4)2 + (3 - -1)2 + (0 - 12)2)
      • d = √((-1)2 + (4)2 + (-12)2)
      • d = √(1 + 16 + 144)
      • d = √(161)
      • d = 12.69 これが球の半径です。
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    多くの場合、r = √((x2 - x1)2 + (y2 - y1)2 + (z2 - z1)2)であることを知っておきましょう。球では、表面上のどの点も中心点から同じ距離にあります。上の3次元の距離の公式を用い、変数「d」を半径の変数「r」 に置き換えれば、中心点(x1,y1,z1)と任意の球上の点(x2,y2,z2)から半径を求める等式が得られます。
    • この等式の両辺を2乗することで、r2 = (x2 - x1)2 + (y2 - y1)2 + (z2 - z1)2が得られます。これは中心点を(0,0,0)とおいた時の球の基本公式r2 = x2 + y2 + z2 と本質的に同じであることを覚えておきましょう。
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ポイント

  • この記事は要望があったため作成されましたが、立体幾何学に初めて取り組もうとしているのでしたら、半径から球の属性を計算するという、逆のアプローチから始める方が間違いなく良いでしょう。
  • 計算は順番が大事です。順番に自信がなく、カッコ付き計算に対応している電卓があれば、是非それを使うようにしましょう。
  • 円周率π は円の周長に対する直径の比を表すギリシャ文字です。これは無理数であり、2つの整数の比で書けるものではありません。色々な近似値がありますが、333/106 では円周率を小数点4桁まで近似できます。今日では、日常の目的であれば十分な正確性をほぼ維持できる3.14を、ほとんどの人が近似値として覚えています。
  • 問題となる球が物理的に利用可能なのであれば、その球に関する量を知る1つの方法が水の置換です。まず、可能な大きさであれば、水でいっぱいの容器にしずめ、溢れた水を集めてその体積を計りましょう。mLをcmの3乗などの球に使いたい単位に変換すれば、その値を使って、v = (4/3)πr3の等式からrを解くことができます。これは、球の円周をテープや定規で計るよりも少し複雑ですが、中心からずれて測定してしまう心配がないため、より正確に測定することができます。

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カテゴリ: 数学
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