直角三角形の斜辺の長さを求める方法

共著者 Grace Imson, MA

数学講師（サンフランシスコ短期大学）

全ての直角三角形には直角（90°）があり、斜辺は直角の対辺で、直角三角形の最も長い辺でもあります。^{[1]
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出典文献}斜辺は三角形の中で最も長い辺で、いくつかの方法で簡単に見つけられます。この記事では、三角形の他の二辺の長さが分かる場合に、三平方の定理を使って斜辺の長さを求める方法を教えます。また、よく試験で出題される、特別な直角三角形の斜辺を求める方法も教えます。さらに、一片の長さともう一つの角度のみが分かる場合に、正弦定理を使って斜辺の長さを求める方法も教えます。

方法 1 の 3:

三平方の定理を使います

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三平方の定理を理解します。三平方の定理は直角三角形の直角を挟む二辺の関係を示しています。^{[2]
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出典文献} 直角を挟む二辺の長さをa、b、そして斜辺の長さをcとすると、a² + b² = c²という関係が成り立ちます。 ^{[3]
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出典文献}
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三角形が直角三角形であることを確認します。三平方の定理は直角三角形にのみ当てはまり、定義上、直角三角形にのみ斜辺が存在します。与えられた三角形に90°の角度があれば直角三角形なので、定理が使えます。
- 教科書や試験では、角度の隅に小さな四角を書いて直角が示されることがよくあります。この印が「90°」を意味します。
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変数a、b、cに三角形の辺の長さを代入します。変数「c」には、常に一番長い辺である斜辺の長さが入ります。残りの辺の一つを「a」とし、もう一つを「b」とします（どちらがどちらでも構いません。計算結果は同じです）。そして、aとbの長さを公式に当てはめます。以下の例を参考にしましょう。
- 直角を挟む二辺の長さが３と４で、a = 3 、b = 4とした場合、方程式は3² + 4² = c²となります。
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aとbの二乗を求めます。二乗を求めるには、その数に同じ数を掛けます。つまり、a² = a x aです。aとb両方の二乗を求め、公式に当てはめます。
- a = 3の場合、a² = 3 x 3 = 9です。b = 4の場合、b² = 4 x 4 = 16です。
- これらの値を方程式に当てはめると、9 + 16 = c²となるはずです。
専門家情報

Grace Imson, MA
数学講師（サンフランシスコ短期大学）
グレース・イムソンは40年の教職歴を持つ数学教師です。セントルイス大学数学科での勤務を経て、現在サンフランシスコ短期大学にて数学講師を務めています。小中学、高校、そして大学と、あらゆるレベルの生徒を対象に数学の授業を行ってきました。セントルイス大学にて教育学（監督・管理専攻）の修士号を取得しています。

Grace Imson, MA
数学講師（サンフランシスコ短期大学）

よくある間違いは、値を二乗し忘れることです。 三平方の定理では、全ての項が二乗です。慌てて二乗するのを忘れてaとbを合計してしまい、不正解となる人が少なくありません。
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a²とb²の値を足します。これを方程式に当てはめると、c²の値になります。あともう一息で、斜辺の長さが求められます。
- 例題の場合、9 + 16 = 25です。そこで、25 = c²と書きましょう。
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c²の平方根を見つけます。電卓の平方根機能を使って（または暗算で）c²の平方根を見つけます。その答えが斜辺の長さです。
- 例題の場合、 c² = 25です。25の平方根は５（5 x 5 = 25なので√25 = 5）です。つまり、c = 5であり、これが斜辺の長さです。
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方法 2 の 3:

特別な直角三角形の斜辺を求めます

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ピタゴラス三角形に気づけるようにします。ピタゴラス三角形の辺の長さは、三平方の定理が成り立つ整数になっています。このような特別な三角形は、幾何学の教科書や、学習テストや大学入試といった標準的な試験でよく出ます。特に二つのピタゴラス三角形を記憶すれば、辺の長さを見ただけで斜辺の長さが分かるので、試験で大幅に時間を節約できます。^{[4]
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出典文献}
- 一つ目のピタゴラス三角形は3：4：5 (3² + 4² = 5²、9 + 16 = 25)です。直角を挟む二辺の長さが３と４の直角三角形を見たら、一切計算をしなくても斜辺は５だということが瞬時的に分かります。
- ピタゴラス三角形の比率は、辺の長さが何倍になっても変わりません。例えば、直角を挟む二辺の長さが６と８の場合、斜辺は10です(6² + 8² = 10²、36 + 64 = 100)。9：12：15や1.5：2：2.5でも定理が成り立ちます。計算して自分で確かめてみましょう。
- よく試験で出題される二つ目のピタゴラス三角形は、5：12：13 です(5² + 12² = 13²、25 + 144 = 169)。10：24：26、2.5：6：6.5といった、相似する三角形が出る可能性もあります。
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45°、45°、90°の直角三角形の比率を覚えます。この直角三角形の角の角度は45°、45°、90°で、直角二等辺三角形とも言われます。標準的な試験でよく出題され、非常に解きやすい三角形です。この三角形の辺の比率は1：1：√2で、直角を挟む二辺の長さは等しいことを意味します。また、直角を挟む辺の長さに２の平方根を掛ければ斜辺の長さが求められます。
- この三角形の斜辺は、直角を挟む一辺の長さに√2を掛けて求めます。
- この比率を覚えておくと、試験や宿題で直角を挟む辺の長さが整数ではなく変数で与えられた場合に特に便利です。
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30°、60°、90°の直角三角形の辺の比率を学びます。この三角形の角の角度は30°、60°、90°で、正三角形を半分に切るとできる三角形です。この三角形の辺の比率は常に1：√3:2、あるいはx：√3x：2xとなっています。この直角三角形の一辺の長さが与えられれば、斜辺の長さを求めるのはとても簡単です。^{[5]
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出典文献}
- 最も短い辺の長さが与えられた場合（30°の角の対辺）、単純にその長さに２を掛ければ斜辺の長さになります。例えば、最も短い辺の長さが４の場合、斜辺の長さは８だと分かります。
- 長い方の辺の長さが与えられた場合（60°の角の対辺）、その長さに2/√3を掛けると斜辺の長さになります。例えば、長い辺が４の場合、斜辺の長さは4.62だと分かります。
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方法 3 の 3:

正弦定理を使って斜辺の長さを求めます

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「サイン」の意味を理解します。「サイン」「コサイン」「タンジェント」は、直角三角形の角や辺の様々な比率に関係します。直角三角形で、角のサインは斜辺で割った対辺の長さとして定義されています。計算式内で使うサインの記号は「sin」です。^{[6]
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出典文献}
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サインの計算の仕方を学びます。基本的な科学計算用電卓にはサインの機能があります。「sin」と書かれたキーを探しましょう。サインを知るためには、「sin」キーを押して、角度を入力します。ただし、角度を入力してから「sin」キーを押す電卓もあります。自分の電卓を使ってみるか、説明書を読んで、どちらのタイプか確認する必要があります。
- 80°のサインを見つけるには、「sin」 80と打ってからイコールかエンターキーを押すか、80 「sin」と打ちます（答えは-0.9939です）。
- また、「三角関数電卓」とウェブ検索する方法もあります。当てずっぽうをしなくても、簡単に使える電卓がたくさんあります。^{[7]
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  出典文献}
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正弦定理を学びます。正弦定理は三角形の問題を解くのに便利な方法です。特に、直角三角形の一辺の長さと直角以外のいずれかの角の角度が分かれば、斜辺の長さが求められます。辺a、b、cと、角A、B、Cの三角形があるとすると、正弦定理はa / sin A = b / sin B = c / sin Cであることを示しています。^{[8]
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出典文献}
- 正弦定理はどのような三角形にも使えますが、直角三角形のみが斜辺を持ちます。
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変数a、b、cに、与えられた三角形の条件を当てはめます。斜辺（最も長い辺）は「c」にします。分かりやすくするため、長さが分かっている辺を「a」、もう一辺を「b」とします。そして、変数A、B、Cに三角形の角度を代入します。斜辺を対辺とする直角が「C」になります。「a」を対辺とする角が「A」、「b」を対辺とする角が「B」です。
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三つ目の角度を計算します。直角なので、C = 90°ということは分かっています。また、AまたはBの角度も分かっているとします。三角形の内角の和は常に180°になるので、三つ目の角度は、180 – (90 + A) = Bという公式で簡単に求められます。この式は、180 – (90 + B) = Aと変えることもできます。
- 例えば、A = 40°だと分かっていれば、B = 180 – (90 + 40)です。これをまとめるとB = 180 – 130となり、B = 50°ということがすぐに分かります。.
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与えられた三角形を見ます。この時点で三つ全ての角の角度と辺aの長さが分かっています。そこで、これらの情報を正弦定理に代入して、残り二辺の長さを求めます。
- 例題を続けるため、辺a = 10、角C = 90°、角A = 40°、角B = 50°だとします。
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正弦定理を与えられた三角形に当てはめます。得られた値を代入し、辺aの長さ / sin A = 辺cの長さ / sin Cという式を解いて、斜辺cの長さを求めます。これではまだとっつきにくく見えるかもしれませんが、sin90°は定数で常に１です。そのため、式はa / sin A = c / 1、あるいはより簡潔にa / sin A = cと書き換えることができます
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辺a の長さを角A のサインで割り、斜辺の長さを求めます。これは二段階に分けて行えます。まずsin Aを計算し、書き留めます。次にaを割ります。あるいは電卓を使って全て一度に打ち込むこともできます。その場合、割る記号の後に丸括弧を打つのを忘れないようにしましょう。例えば、電卓の仕様に応じて10 / (「sin」 40)または10 / (40 「sin」)と入力します。
- 例題の場合、sin 40° = 0.64278761です。cの値を求めるには、aの長さをこの値で割ります。すると10 / 0.64278761 = 15.6が求められ、これが斜辺の長さです。
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