等差数列の和を求める方法

等差数列とは一定の数を加えて作られていく数列です。その和を求める必要がある場合は、もちろん全てを1つずつ足していくことも可能です。ただし、この方法は数が増えると、あまり実用的ではありません。その代わりに、数列の1つ目と最後の数（項）の平均と項数を掛けることで、手早く和を求めましょう。

パート 1
数列の仕組みを理解する

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等差数列なのかどうか確認する　等差数列は一定の数を次々に加えて作られる数列です。^[1] ここで紹介する和の求め方は、等差数列にのみ用いることができます。
- 最初のいくつかの項と最後のいくつかの項の関係を観察し、項と項の差を見つけましょう。この差が常に同じであれば等差数列です。
- 例えば、10、15、20、25、30という数列があるとしましょう。項と項の差は5で常に一定です。
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数列に含まれる項の数を把握する　項とは１つ1つの数を指します。項が2～3つしかない場合は単純に数えることができます。それが難しい場合は、1つ目の項（初項）、最後の項、項の共通の差（公差）が分かれば、計算式を用いて項の数を把握することもできます。項の数を $n$ $n$ として考えてみましょう。
- 例えば、10、15、20、25、30という数列であれば項の数は5つなので $n=5$ となります。
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1つ目と最後の項の数を把握する　等差数列の和を求めるには、このどちらも必要になります。1つ目の項は1であることが多いものの、例外ももちろんあります。1つ目の項を $a_{1}$ $a_{1}$ そして最後の項を $a_{n}$ $a_{n}$ として考えてみましょう。.
- 例えば、10、15、20、25、30という数列であれば、 $a_{1}=10$ 、さらに $a_{n}=30$ となります。

パート 2
和を計算する

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計算式を用いる　等差数列の和は $S_{n}$ $S_{n}$ は $S_{n}=n({\frac {a_{1}+a_{n}}{2}})$ $S_{n}=n({\frac {a_{1}+a_{n}}{2}})$ という公式を用いて求めます。^[2]
- つまり、等差数列の和は、1つ目の項と最後の項の平均と項数を掛けて算出します。^[3]
2
$n$ n{\displaystyle n} $n$ 、 $a_{1}$ 、 $a_{n}$ に数を当てはめる　間違いの無いように当てはめていきましょう。
- 例えば、項が5つあり、1つ目の項が10、最後の項が30の場合、計算式は $S_{n}=5({\frac {10+30}{2}})$ となります。
3
1つ目と最後の項の平均を求める　2つの数字を足して2で割りましょう。
- 例えば前出の例の場合は次のようになります。
  $S_{n}=5({\frac {40}{2}})$
  $S_{n}=5(20)$
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平均を項の合計と掛ける　これによって等差数列の和が求められます。
- 引き続き同じ例を用いると次のようになります。:
  $S_{n}=5(20)$
  $S_{n}=100$
  つまり10, 15, 20, 25, 30 という数列の和は 100です。

パート 3
例題を解く

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1から500の和を求める　連続したあらゆる整数を考慮しましょう。
- 数列の項数 $n$ を見つけましょう。500まで連続したあらゆる整数が対象となるので、 $n=500$ となります。
- 1つ目と $a_{1}$ 最後の $a_{n}$ 項の数を見つけましょう。数列は1から500なので、 $a_{1}=1$ 、さらに $a_{n}=500$ となります。
- $a_{1}$ と $a_{n}$ の平均を求めます。つまり ${\frac {1+500}{2}}=250.5$ となります。
- 平均を項数 $n$ と掛けましょう。 $250.5\times 500=125,250$ となります。
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既に条件が与えられている等差数列の和を求める　1つ目の項は3、さらに最後の項は24で、公差は7の場合を考えてみましょう。
- まず項数 $n$ を求めましょう。3から始まり24で終わり、さらに7ずつ加えられているという条件から、3、10、17、24という数列であることがわかります。（公差とは数列における1つの項と次の項の共通の差を指しています。）^[4] つまり、 $n=4$ となります。
- 1つ目の項 $a_{1}$ と最後の項 $a_{n}$ の数を見つけましょう。3から24までの数列だったので、 $a_{1}=3$ 、および $a_{n}=24$ となります。
- 1つ目の項 $a_{1}$ と最後の項 $a_{n}$ の平均を求めましょう。 ${\frac {3+24}{2}}=13.5$ となります。
- この平均を項数 $n$ と掛けるので、 $13.5\times 4=54$ となります。
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さらに例題を解く　Aさんは、ある年の第1周に5ドルを貯金しました。その後、毎週の貯金額を5ドルずつ増やしていきました。年末の時点で何ドル貯金できたでしょうか？
- 項の数 $n$ を求めましょう。1年間は52週なので、 $n=52$ となります。
- 1つ目の項 $a_{1}$ と最後の項 $a_{n}$ を求めましょう。1周目は5ドルだったので $a_{1}=5$ となります。最終週の貯金額は、 $5\times 52=260$ となるので、最後の項は $a_{n}=260$ です。
- 1つ目 $a_{1}$ と最後の項 $a_{n}$ の平均を求めましょう。 ${\frac {5+260}{2}}=132.5$ となります。
- 平均を項数 $n$ と掛けましょう。 $135.5\times 52=7,046$ となります。つまり貯金額の合計は 7,046 ドルとなります。