等差数列とは一定の数を加えて作られていく数列です。その和を求める必要がある場合は、もちろん全てを1つずつ足していくことも可能です。ただし、この方法は数が増えると、あまり実用的ではありません。その代わりに、数列の1つ目と最後の数(項)の平均と項数を掛けることで、手早く和を求めましょう。

パート 1 の 3:
数列の仕組みを理解する

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    等差数列なのかどうか確認する 等差数列は一定の数を次々に加えて作られる数列です。[1] ここで紹介する和の求め方は、等差数列にのみ用いることができます。
    • 最初のいくつかの項と最後のいくつかの項の関係を観察し、項と項の差を見つけましょう。この差が常に同じであれば等差数列です。
    • 例えば、10、15、20、25、30という数列があるとしましょう。項と項の差は5で常に一定です。
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    数列に含まれる項の数を把握する 項とは1つ1つの数を指します。項が2~3つしかない場合は単純に数えることができます。それが難しい場合は、1つ目の項(初項)、最後の項、項の共通の差(公差)が分かれば、計算式を用いて項の数を把握することもできます。項の数をとして考えてみましょう。
    • 例えば、10、15、20、25、30という数列であれば項の数は5つなので となります。
  3. 3
    1つ目と最後の項の数を把握する 等差数列の和を求めるには、このどちらも必要になります。1つ目の項は1であることが多いものの、例外ももちろんあります。1つ目の項を そして最後の項を として考えてみましょう。.
    • 例えば、10、15、20、25、30という数列であれば、 、さらにとなります。
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パート 2 の 3:
和を計算する

  1. 1
    計算式を用いる 等差数列の和はという公式を用いて求めます。[2]
    • つまり、等差数列の和は、1つ目の項と最後の項の平均と項数を掛けて算出します。[3]
  2. 2
    に数を当てはめる 間違いの無いように当てはめていきましょう。
    • 例えば、項が5つあり、1つ目の項が10、最後の項が30の場合、計算式はとなります。
  3. 3
    1つ目と最後の項の平均を求める 2つの数字を足して2で割りましょう。
    • 例えば前出の例の場合は次のようになります。

  4. 4
    平均を項の合計と掛ける これによって等差数列の和が求められます。
    • 引き続き同じ例を用いると次のようになります。:


      つまり10, 15, 20, 25, 30 という数列の和は 100です。
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パート 3 の 3:
例題を解く

  1. 1
    1から500の和を求める 連続したあらゆる整数を考慮しましょう。
    • 数列の項数 を見つけましょう。500まで連続したあらゆる整数が対象となるので、 となります。
    • 1つ目と最後の項の数を見つけましょう。数列は1から500なので、、さらに となります。
    • の平均を求めます。つまり となります。
    • 平均を項数と掛けましょう。となります。
  2. 2
    既に条件が与えられている等差数列の和を求める 1つ目の項は3、さらに最後の項は24で、公差は7の場合を考えてみましょう。
    • まず項数を求めましょう。3から始まり24で終わり、さらに7ずつ加えられているという条件から、3、10、17、24という数列であることがわかります。(公差とは数列における1つの項と次の項の共通の差を指しています。)[4] つまり、となります。
    • 1つ目の項 と最後の項 の数を見つけましょう。3から24までの数列だったので、、および となります。
    • 1つ目の項と最後の項 の平均を求めましょう。 となります。
    • この平均を項数 と掛けるので、 となります。
  3. 3
    さらに例題を解く Aさんは、ある年の第1周に5ドルを貯金しました。その後、毎週の貯金額を5ドルずつ増やしていきました。年末の時点で何ドル貯金できたでしょうか?
    • 項の数を求めましょう。1年間は52週なので、となります。
    • 1つ目の項と最後の項を求めましょう。1周目は5ドルだったのでとなります。最終週の貯金額は、 となるので、最後の項は です。
    • 1つ目 と最後の項 の平均を求めましょう。 となります。
    • 平均を項数と掛けましょう。 となります。つまり貯金額の合計は 7,046 ドルとなります。
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カテゴリ: 数学
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