通常の五角形の面積を求める方法

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出典

五角形とは5つの辺で構成された多角形です。数学の授業では、ほとんどの場合において5つの辺が等しい標準の五角形が用いられます。面積を求めるには主に2通りの方法があるので、分かっている情報に合わせて適した方を選びましょう。

方法 1 の 3:

辺の長さと辺心距離をもとに面積を求める

1
辺の長さと辺心距離を把握する　この方法は辺の長さが等しい標準の五角形で用いることができます。辺の長さの他にも辺心距離が必要です。辺心距離とは、辺から90度の角度で中心に向かって引いた直線の長さを意味しています。
- 辺心距離と半径を混同しないようにしましょう。半径とは辺の中央でなく角（頂点）と中心とをつなぐ直線の距離を意味しています。辺と半径の長さが分かっている場合は、この方法ではなく方法2を参考にしましょう。
- ここでは、辺の長さを3、辺心距離を2と仮定します。
2
五角形を5つの三角形に分ける　五角形の中心から5つの直線を角（頂点）に向かって引きましょう。5つの三角形が出来上がります。
3
三角形の面積を求める　五角形の辺が1つの三角形の底辺となります。また、辺心距離が三角形の高さとなります。（三角形の高さは、頂点から直角に反対側へ伸びています。）½ x 底辺 x 高さという公式で求めましょう。
- ここでは ½ x 3 x 2 = 3 となります。
4
三角形の面積を5倍して五角形全体の面積を求める　五角形を5つの三角形に分割していたので、全体の面積を求めるには三角形の面積を5倍する必要があります。
- 全体の面積 = 5 x 三角形の面積 = 5 x 3 = 15 となります。
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方法 2 の 3:

辺の長さをもとに面積を求める

1
辺の長さを把握する　これは5つの辺が等しい標準の五角形に対して用いることができる方法です。
- ここでは1辺の長さを7と仮定します。
2
5つの三角形に分割する　中心から頂点に向かって直線を引きましょう。これを全ての頂点で行います。面積の等しい5つの三角形が出来上がります。
3
三角形を2分割する　五角形の中心から三角形の底辺に向かって直線を引きましょう。90度の角度で底辺に接するように引くことで、1つの三角形が面積の等しい2つの小さな三角形に分割されます。
4
小さな三角形の1つを分類する　現時点で小さな三角形の1辺と角の1つについて既に分かっています。
- 底辺は五角形の1辺の半分の長さになります。つまり、½ x 7 で3.5となります。
- 五角形の中心に接している角は常に 36ºです。（全体の中心は常に360º で、それを10で割ると小さな三角形の角になります。つまり360 ÷ 10 = 36で36ºとなります。)
5
三角形の高さを求める　高さとは五角形の辺から中心に向かって直角引かれている直線を意味しています。三角法の法則を用いて求めましょう。^{[1]
X
出典文献}
- 直角三角形では、1つの角度の対辺の長さを隣辺の長さで割ったものが、その角のタンジェントとなります。
- 36ºの対辺は三角形の底辺（五角形の1辺の半分の長さ）となります。また、三角形の高さが隣辺となります。
- tan(36º) = 対辺 / 隣辺
- ここでは tan(36º) = 3.5 / 高さ、となります。
- 高さ x tan(36º) = 3.5
- 高さ = 3.5 / tan(36º)
- 高さ = (およそ) 4.8 となります。
6
三角形の面積を求める　三角形の面積は½ x 底辺 x 高さ（A = ½bh）という計算式で求められます。既に高さが分かっているので、公式に当てはめて、小さな三角形1つの面積を求めましょう。
- 小さな三角形の面積= ½bh = ½(3.5)(4.8) = 8.4 となります。
7
10倍して全体の面積を求める　小さな三角形1つは全体の面積の10分の1を占めています。つまり全体の面積を求めるには、小さな三角形の面積を10倍する必要があります。
- ここでは 8.4 x 10 = 84 となります。
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方法 3 の 3:

公式を用いる

1
外周と辺心距離を用いる　辺心距離とは、辺から90度の角度で中心に向かって引いた直線の長さを意味しています。すでにこの数字が与えられている場合、公式を使って簡単に答えを求めることができます。
- p =外周、a = 辺心距離として、五角形の面積 = pa /2 となります。^{[2]
  X
  出典文献}
- 外周（p）が分からない場合は、1辺の長さ（s）を5倍しましょう。つまり p = 5sとなります。
2
辺の長さを利用する　辺の長さしか分からない場合は次のような公式を用いましょう。^{[3]
X
出典文献}
- s = 1辺の長さ、tan =タンジェントとして、通常の五角形の面積 = (5 s ²) / (4tan(36º)) となります。
- tan(36º) = √(5-2√5)です。^{[4]
  X
  出典文献}計算機にタンジェントの機能がない場合は次の公式を用いましょう。 (5s ²) / (4√(5-2√5))
3
半径のみで求める公式を用いる　半径しか分かっていない時でも面積を求めることは可能です。下記の公式を用いましょう。^{[5]
X
出典文献}
- r = 半径として、通常の五角形の面積 = (5/2) r²sin(72º) となります。
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ポイント

この記事で紹介されているものも含め、公式は幾何学の方法に基づいて作られています。公式がどのように作られているのか考えてみましょう。半径を用いる公式は他のものに比べて難易度が上がります。（ヒント：2倍角の式が必要になります。）
ここで紹介されている例は数値を四捨五入して単純化しています。同じ尺の実在の多角形の面積を求めると、答えは若干異なるかもしれません。
不規則な五角形、あるいは辺の長さが異なる五角形の面積の求め方はより複雑です。標準の五角形と同様に、まず複数の三角形に分割し、1つずつの面積を求めて足していく方法を用いるのがやはり賢明でしょう。あるいは、五角形の周りにより大きな図形を描き、その面積を求め、最後に余分な面積を差し引くという方法もあります。
幾何学に基づく方法と公式を用いる方法の両方を試し、どちらでも同じ答えになるか確認してみましょう。四捨五入などを途中で行わず、初めに全ての数値を当てはめてから計算すると若干の差が出るかもしれませんが、それでもかなり近い答えになるはずです。