連立方程式を解く方法

「連立方程式」では、二つ以上の方程式を同時に解くことが求められます。xとy、aとbなど、二つの異なる変数が含まれる場合、その解き方は最初は複雑に見えるかもしれません。幸いなことに、一度やり方が分かれば、基本的な代数学の知識さえあれば問題を解くことができます（分数の知識が必要な場合もあります）。視覚的に理解する人や、先生からの指示がある場合は、方程式をグラフ化する方法も学びましょう。グラフは「何が起こっているのかを見る」のに便利です。また、自分の計算を確認できます。しかし、他の方法に比べて時間がかかり、全ての連立方程式でうまく使えるわけではありません。

方法 1

方法 1 の 3:
代入法を使います

1
変数を方程式の逆の辺に移項します。この「代入法」は、一つの式で「xを解く」（または他の変数を解く）ことから始まります。例として、4x + 2y = 8 と 5x + 3y = 9という方程式があるとします。まず最初の方程式だけを見ます。両辺から2yを引いて式を変形させると、4x = 8 - 2yとなります。
- この方法ではよく分数を使います。分数が苦手な場合は、代わりに下記の加減法を試しましょう。
2
方程式の両辺を割って「xを解きます」。xの項（あるいは解いているいずれかの変数）を方程式の片方の辺に集めたら、両辺を割って変数だけを残します。以下に例を示します。
- 4x = 8 - 2y
- (4x)/4 = (8/4) - (2y/4)
- x = 2 - ½y
3
これをもう一つの方程式に代入します。必ず「もう一方」の方程式を使います。既に使った式ではありません。その式に、解いた変数を代入し、一つの変数のみが残るようにします。以下に例を示します。
- x = 2 - ½yということが判明しています。
- まだ使っていない二つ目の式は5x + 3y = 9です。
- 二つ目の式のxに「2 - ½y」を代入すると、5(2 - ½y) + 3y = 9となります。
4
残った変数を解きます。一つの変数のみを含む一つの式が得られます。普通の代数学の計算を用いて、この変数を解きます。変数が相殺される場合は最後の手順に進みます。 それ以外の場合は、一つの変数の解が求められます。
- 5(2 - ½y) + 3y = 9
- 10 – (5/2)y + 3y = 9
- 10 – (5/2)y + (6/2)y = 9（この手順が理解できない場合は、分数の足し算を勉強しましょう。この方法では、毎回ではありませんが、よく必要となる知識です）
- 10 + ½y = 9
- ½y = -1
- y = -2
5
この解を使ってもう一つの変数も解きます。問題を半分だけ解いて終わらせるというミスを犯してはいけません。この答えを元の式の一つに代入して、もう一つの変数も解きます。
- y = -2が分かっています。
- 元の方程式の一つは4x + 2y = 8です（この手順ではどちらの式を使っても構いません）。
- yに-2を代入します。4x + 2(-2) = 8
- 4x - 4 = 8
- 4x = 12
- x = 3
6
両方の変数が相殺された場合について理解します。x=3y+2 といった答えをもう片方の方程式に代入するのは、一つの変数を含む方程式を得るためです。しかし、結果として変数が「無い」方程式ができることがあります。計算を再確認し、間違いなく一つの（変形させた）式を、同じ式ではなくもう一方の式に代入したことを確かめます。誤りが無かったことが確信できたら、以下のうちいずれかの結果となります。^{[1]
X
出典文献}
- 変数が無く、正しくない式（3 = 5など）ができた場合、この問題は解なしということになります。（両方の方程式をグラフにすると、決して交わらない二つの平行線ができます）
- 変数が無く、「正しい」式（3 = 3など）ができた場合、この問題で「解は無数にある」ことを意味します。二つの方程式はお互いに全く同じものです（両方の方程式をグラフにすると、同じ線ができます）。
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方法 2

方法 2 の 3:
加減法を使いますUsing the Elimination Method

1
打ち消し合う変数を見つけます。二つの式を足し合わせただけで、変数が「打ち消される」場合があります。例えば、3x + 2y = 11 と 5x - 2y = 13という方程式を足し合わせると、"+2y" と "-2y"が打ち消し合い、式からyが無くなります。問題の方程式を見て、変数のいずれかがこのように打ち消されないか考えます。どちらも打ち消されない場合は、次の手順に従いましょう。
2
変数が打ち消されるように、式を掛けます。（変数が既に打ち消されている場合はこの手順は飛ばしましょう）自然に打ち消される変数が無い場合は、片方の式を変形させて、打ち消せるようにします。例を見るとより分かりやすいはずです。
- 3x - y = 3 と -x + 2y = 4という連立方程式があるとします。
- 最初の式を変えて、変数yが打ち消されるようにします。（代わりにxを選んでも構いません。最終的な答えは変わりません。）
- 最初の式の- yを二つ目の式の+ 2yで打ち消す必要があります。- yに2を掛ければこれが起こります。
- 最初の式の両辺に2を掛けて、2(3x - y)=2(3)とします。つまり、6x - 2y = 6です。こうすれば、- 2yが二つ目の式の+2yを打ち消します。
3
二つの式を結合させます。二つの式を結合させる際は、左辺どうし、右辺どうしを足し合わせます。式を正しく変形できていれば、一つの変数が打ち消されるはずです。先の手順で使った方程式を用いて例を示します。
- 方程式は6x - 2y = 6 と -x + 2y = 4です。
- 左辺を足します。6x - 2y - x + 2y = ?
- 右辺を足します。6x - 2y - x + 2y = 6 + 4
4
残った変数を解きます。結合させた式をまとめ、基本的な代数計算で残った変数を解きます。式をまとめた後に変数が残らない場合、この章の最後まで飛びましょう。それ以外の場合は、一つの変数の解が得られるはずです。以下に例を示します。
- 6x - 2y - x + 2y = 6 + 4が得られています。
- x と yの変数をまとめ、6x - x - 2y + 2y = 6 + 4とします。
- まとめて5x = 10とします。
- xを解きます。(5x)/5 = 10/5なので、x = 2です。
5
もう片方の変数を解きます。一つの変数は解けましたが、まだ終わりではありません。答えを元の式の一つに代入し、もう一つの変数も解きます。以下が例です。
- x = 2が分かっていて、元の式の一つは3x - y = 3です。
- xに2を代入します。3(2) - y = 3
- この式のyを解きます。6 - y = 3
- 6 - y + y = 3 + y、つまり 6 = 3 + y
- 3 = y
6
両方の変数が相殺された場合について理解します。二つの式を結合した結果、意味を成さない式や、問題を解く材料にならない式ができることがあります。最初から計算を見直しても誤りが見つからない場合、以下のうちのいずれかを解答として書きましょう。^{[2]
X
出典文献}
- 結合した式に変数が無く、誤り（2 = 7など）である場合、両方の方程式を満たす解はないとういことになります（両方の方程式をグラフにすると、決して交わらない平行線ができます）。
- 結合した式に変数が無く、正しい（0 = 0など）場合、「解は無数にある」ことを意味します。二つの方程式は実は同じものです（両方の方程式をグラフにすると、同じ線ができるのが分かります）。
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方法 3

方法 3 の 3:
方程式をグラフにします

1
この方法は指示があった場合にのみ使いましょう。コンピュータやグラフ計算機を使わない限り、多くの連立方程式は、この方法ではおおよその解しか得られません。^{[3]
X
出典文献}先生や数学の教科書によってはこの方法を使うよう指示があるかもしれません。方程式を線でグラフ化するのに慣れさせるためです。この方法は、他の方法で得られた解答を再確認するのにも使えます。
- 両方の方程式をグラフ化し、交点を見つける、というのが基本的な考え方です。この点のxとyの値が、連立方程式のxとyの解になります。
2
両方の方程式のyを解きます。二つの方程式は別々にしたまま、代数学を使ってそれぞれを「y = __x + __」の形にします。^{[4]
X
出典文献}例を以下に示します。
- 最初の式は2x + y = 5です。これを変形してy = -2x + 5とします。
- 二つ目の式は-3x + 6y = 0です。これを変形して6y = 3x + 0とし、計算してy = ½x + 0とします。
- 両方の方程式が等しい場合、線全体が「交点」になります。解は無数にあると解答しましょう。
3
座標軸を描きます。グラフ用紙に、縦の「y軸」と横の「x軸」を描きます。両方が交わる点を原点に、y軸の上に向かって1、 2、 3、 4と数字を振っていきます。x軸の右側にも同様に数字を振ります。y軸の下に向かって-1、 -2と数字を振っていき、x軸の左側にも同様に振ります。
- グラフ用紙が無い場合、定規を使って数の間隔を等しくします。
- 大きな数字や小数を扱う場合、グラフの目盛りを変える必要があるかもしれません（1、 2、 3とする代わりに10、 20、 30や0.1、 0.2、 0.3とするなど）。
4
それぞれの線とy軸との交点を描きます。y = __x + __という形の方程式を得られたら、y軸との交点に点を打ってグラフを描き始めましょう。このときのyの値は、方程式の最後の数と等しくなります。
- 上記の例題の場合、一つの線(y = -2x + 5) はy軸と5で交わります。もう一つの線(y = ½x + 0)は0で交わります（これらの点の座標は(0,5)と(0,0)です）。
- できれば異なる色で二本の線を引きましょう。
5
傾きを使って線を伸ばします。y = __x + __の形の式で、xの前にある数が線の「傾き」です。xが1増えるごとに、yの値は傾きと同じだけ増えます。この情報を使って、x = 1のときにそれぞれの直線が通るグラフの位置に点を打ちます（または、x = 1をそれぞれの方程式に代入してyの値を求めます）。
- 例題の場合、直線y = -2x + 5の傾きは-2です。x = 1のとき、この線はx = 0の点よりも2「下がります」。(0,5)と(1,3)を線で結びましょう。
- 直線y = ½x + 0 の傾きは½です。x = 1のとき、この線はx = 0の点よりも½「上がります」。(0,0) と (1,½)を線で結びましょう。
- 傾きが同じ場合、二つの直線は決して交わらないため、この連立方程式に解はありません。解なしと解答しましょう。
6
二つの線が交じり合うまで線を伸ばします。手を止めてグラフを見ます。既に二つの直線が交じり合っている場合は、次の手順に進みましょう。そうでない場合は、線の状況を読み取り、判断しましょう。
- 線がお互いに近づいている場合、その方向に点を打ち続けましょう。
- 線がお互いに離れている場合、戻ってx = -1から反対の方向に点を打ちます。
- 線がお互いに全く近くない場合、先に飛んでx = 10など、より離れた位置の点を打ってみましょう。
7
交点で解を見つけます。二つの線が交わったら、その点のx座標とy座標が問題の解になります。運が良ければ整数の解が得られます。例えば例題の場合、二つの線は(2,1) で交わります。そのため、解はx = 2 ， y = 1です。連立方程式の中には、二つの整数の間の値で線が交わるものもあります。この場合、グラフが非常に正確でない限り、座標を述べるのは難しくなります。こうなってしまった場合は、「xは1と2の間」などと解答するか、代入法または加減法で正確な解を求めましょう。

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