長方形の対角線の長さを求める方法

対角線とは長方形の角の一つとその反対側に位置するもう一つの角をつなぐ直線を意味しています。^{[1]
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出典文献} 一つの長方形には対角線が二つ存在していて、それぞれ同じ長さになっています。^{[2]
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出典文献}長方形の辺の長さが既に把握できているのであれば、ピタゴラスの定理を使い簡単に対角線の長さも求められます。これは、対角線によって長方形が二つの直角三角形に分割されるためです。長方形の辺の長さがわからないものの、面積や外周、辺長の関係といったその他の情報が明らかになっている場合、いくつかの追加手順を加えることで、四角形の縦と横の辺の長さを求めることができます。さらにピタゴラスの定理を用いて対角線の縦と横を求めましょう。

方法 1

方法 1 の 3:
縦と横の辺の長さを用いる

1
ピタゴラスの定理の公式を用意する　 $a^{2}+b^{2}=c^{2}$ $a^{{2}}+b^{{2}}=c^{{2}}$ が公式です。 $a$ $a$ 及び $b$ $b$ は直角三角形の二つの辺の長さと等しく、 $c$ $c$ が直角三角形の斜辺の長さとなります。^{[3]
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出典文献}
- ピタゴラスの定理を用いるのは、長方形の対角線によって、直方体が二つの合同の直角三角形に分割される為です。^{[4]
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  出典文献} 長方形の縦と横の長さが、三角形の二つの辺となり、対角線が三角形の斜辺となります。
2
縦と横の長さを公式に当てはめる　縦と横の辺の長さはすでに与えられているか、自分で計測することができるはずです。このとき $a$ $a$ と $b$ $b$ を辺の長さに置き換えるようにしましょう。
- 例えば縦の長さが3センチメートル、横の長さが4センチメートルなのであれば、公式は $3^{2}+4^{2}=c^{2}$ となります。
3
縦と横の長さをそれぞれ2乗し、足し算をする　2乗とは一つの数字を同じ数字で掛けることを意味しています。
- 例：
  $3^{2}+4^{2}=c^{2}$
  $9+16=c^{2}$
  $25=c^{2}$
4
両辺の平方根を取る　計算機を使用する方法が最も簡単です。手元に電卓が無ければオンラインの機能等を使ってみても良いでしょう。^{[5]
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出典文献} 計算の結果、 $c$ $c$ の値を知ることができ、これが三角形の斜辺および長方形の対角線となります。
- 例：
  $25=c^{2}$
  ${\sqrt {25}}={\sqrt {c^{2}}}$
  $5=c$
  つまり縦3センチメートル、横4センチメートルの長方形の対角線の長さは5センチメートルです。
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方法 2

方法 2 の 3:
面積や外周の値を用いるr

1
長方形の面積を求める公式を用意する　 $A=lw$ が公式です。 $A$ が面積、 $l$ は長方形の横の辺の長さ、 $w$ が縦の長さを意味しています。^{[6]
X
出典文献}
2
面積の値を公式に当てはめる　 $A$ $A$ を置き換えるようにしましょう。
- 例えば長方形の面積が35平方センチメートルなのであれば、公式は次のようになります。 $35=lw$
3
計算をして $w$ の値を求める　計算式の両辺を $l$ $l$ で割る必要があります。算出した値は見えるところに残しておきましょう。後で外周を求める計算式に当てはめる時に使います。
- 例：
  $35=lw$
  ${\frac {35}{l}}=w$
4
長方形の外周を求める公式を用意する　 $P=2(w+l)$ が公式です。 $w$ が長方形の縦の辺、 $l$ が長方形の横の辺となります。^{[7]
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出典文献}
5
長方形の外周の値を計算式に当てはめる　この時 $P$ $P$ を外周の値と置き換えるようにしましょう。
- 例えば、長方形の外周が24センチメートルである場合、公式は次のようになります。 $24=2(w+l)$
6
計算式の両辺を2で割る　こうすることで $w+l$ $w+l$ の合計を知ることができます。
- 例：
  $24=2(w+l)$
  ${\frac {24}{2}}={\frac {2(w+l)}{2}}$
  $12=w+l$
7
$w$ w{\displaystyle w} $w$ の値を計算式に当てはめる　面積の公式を計算することで分かった値を当てはめましょう。
- 例えば、面積の公式を使って ${\frac {35}{l}}=w$ という結果になったのであれば、外周の公式の $w$ をこの値と置き換えましょう。
  $12=w+l$
  $12={\frac {35}{l}}+l$
8
分数を相殺する　相殺するには計算式の両辺を $l$ $l$ で割りましょう。
- 例：
  $12={\frac {35}{l}}+l$
  $12\times l=({\frac {35}{l}}\times l)+(l\times l)$
  $12l=35+l^{2}$
9
計算式の答えをゼロにする　次数が1の項の値を計算式の両辺から引くことでゼロになります。
- 例：
  $12l=35+l^{2}$
  $12l-12l=35+l^{2}-12l$
  $0=35+l^{2}-12l$
10
次数の順で計算式の中身を並べ替える　指数を伴う項が一番最初となり、次に変数を伴った項、最後に定数という順になります。並べ替える際は、数の正負が狂わないよう気をつけましょう。この段階で計算式は二次方程式になります。
- 例えば、 $0=35+l^{2}-12l$ が $0=l^{2}-12l+35$ と並べ替えられます。
11
二次方程式を因数分解する　詳細な計算方法は二次方程式を解くを参照しましょう。
- 例えば、 $0=l^{2}-12l+35$ という計算式は $0=(l-7)(l-5)$ と分解することができます。
12
$l$ l{\displaystyle l} $l$ の値を求める　それぞれの項をゼロにして変数の値を求めましょう。その結果、計算式の二つの解、または根を知ることが出来ます。長方形に関わる計算問題なので、二つの根がそれぞれ縦と横の長さとなります。
- 例：
  $0=(l-7)$
  $7=l$
  さらに：
  $0=(l-5)$
  $5=l$
  つまり長方形の縦と横の長さがそれぞれ5センチメートルと7センチメートルとなります。
13
ピタゴラスの定理の公式を用意する　 $a^{2}+b^{2}=c^{2}$ $a^{{2}}+b^{{2}}=c^{{2}}$ が公式です。 $a$ $a$ と $b$ $b$ は直角三角形の二つの辺の長さに等しく、 $c$ $c$ は直角三角形の斜辺の長さとなります。^{[8]
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出典文献}
- ピタゴラスの定理を用いるのは、長方形の対角線によって、直方体を二つの合同の直角三角形に分割される為です。^{[9]
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  出典文献} 長方形の縦と横の長さが、三角形の二つの辺となり、対角線が三角形の斜辺となります。
14
縦と横の値を公式に当てはめる　どちらの値が縦横どちらの辺になっても問題はありません。
- 例えば、縦と横の長さが5センチメートルと7センチメートルなのであれば、公式は次のようになります。 $5^{2}+7^{2}=c^{2}$
15
縦と横の値を2乗し、足し算をする　2乗とは一つの数字を同じ数字で掛けることを意味しています。
- 例：
  $5^{2}+7^{2}=c^{2}$
  $25+49=c^{2}$
  $74=c^{2}$
16
計算式の両辺から平方根を取る　計算機を使用する方法が最も簡単です。手元に電卓が無ければオンラインの機能等を使ってみても良いでしょう。^{[10]
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出典文献} 計算の結果、 $c$ $c$ の値を知ることができ、これが三角形の斜辺および長方形の対角線となります。
- 例：
  $74=c^{2}$
  ${\sqrt {74}}={\sqrt {c^{2}}}$
  $8.6024=c$
  つまり、面積35平方センチメートル、外周が24センチメートルの長方形の対角線の長さは約8.6センチメートルということになります。
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方法 3

方法 3 の 3:
辺の関係を用いる

1
辺の関係を説明した公式を用意する^{[11]
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出典文献}　横 ( $l$ $l$ ) あるいは縦 ( $w$ $w$ )を分離させることが出来ます。この公式は手元に残していきましょう。後で面積を求める公式に当てはめる際に必要になります。
- 例えば、長方形の縦の長さが横の長さよりも2センチーメートル長いということがわかっている場合、次のような公式を書くことが出来ます。 $w$ : $w=l+2$
2
長方形の面積を求める公式を用意する　 $A=lw$ $A=lw$ が公式です。 $A$ $A$ が長方形の面積となり、 $l$ $l$ は横、 $w$ $w$ が縦の辺となります。^{[12]
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出典文献}
- この方法は、既に長方形の外周の値がわかっているときに活用するものですが、今回は面積の公式の代わりに外周の公式が必要になります。長方形の外周を求める公式は $P=2(w+l)$ となり、 $w$ が長方形の縦の長さ、 $l$ が横の長さとなります。^{[13]
  X
  出典文献}
3
長方形の面積の値を計算式に当てはめる　 $A$ $A$ を面積の値と置き換えるようにしましょう。
- 例えば長方形の面積が35平方センチメートルなのであれば、公式は次のようになります。 $35=lw$
4
縦横の辺の長さの関係を示す公式を計算式に当てはめる　長方形に関する課題に取り組んでいるので、 $l$ $l$ と $w$ $w$ のどちらの変数でもかまいません。
- 例えば、 $w=l+2$ ということが分かっている場合、この関係性で面積の公式の $w$ を補うことができます。
  $35=lw$
  $35=l(l+2)$
5
二次方程式を作る　この際、分配則でカッコ（）の中の項を掛け、計算式の解をゼロにします。
- 例：
  $35=l(l+2)$
  $35=l^{2}+2l$
  $0=l^{2}+2l-35$
6
二次方程式を因数分解する　詳細な計算方法は二次方程式を解くを参照しましょう。
- 例えば、 $0=l^{2}-12l+35$ という計算式は $0=(l-7)(l-5)$ と分解することができます。
7
$l$ l{\displaystyle l} $l$ の値を見つける　それぞれの項をゼロにして変数の値を求めましょう。その結果、計算式の二つの解、または根を知ることが出来ます。
- 例：
  $0=(l+7)$
  $-7=l$
  及び
  $0=(l-5)$
  $5=l$
  この場合負の数の根が一つ生じています。長方形の辺の長さがマイナスであることは考えられないので、横の長さは5センチメートルということになります。
8
横（あるいは縦）の長さを、辺の関係性を表す公式に当てはめる　こうすることで、長方形の反対側の横の長さを知ることが出来ます。
- 例えば、長方形の横の長さが5センチメートルとわかっていて、辺の関係が $w=l+2$ であるとき、公式の長さに当たる部分を5で置き換えます。
  $w=l+2$
  $w=5+2$
  $w=7$
9
ピタゴラスの定理の公式を用意する　 $a^{2}+b^{2}=c^{2}$ $a^{{2}}+b^{{2}}=c^{{2}}$ が公式です。 $a$ $a$ と $b$ $b$ は直角三角形の二つの辺の長さに等しく、 $c$ $c$ は直角三角形の斜辺の長さとなります。^{[14]
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出典文献}
- ピタゴラスの定理を用いるのは、長方形の対角線によって、直方体を二つの合同の直角三角形に分割される為です。^{[15]
  X
  出典文献} 長方形の縦と横の長さが、三角形の二つの辺となり、対角線が三角形の斜辺となります。
10
縦と横の値を公式に当てはめる　どちらの値が縦横どちらの辺になっても問題はありません。
- 例えば、縦と横の長さが5センチメートルと7センチメートルなのであれば、公式は次のようになります。 $5^{2}+7^{2}=c^{2}$
11
縦と横の長さを2乗し、足し算をする　2乗とは一つの数字を同じ数字で掛けることを意味しています。
- 例：
  $5^{2}+7^{2}=c^{2}$
  $25+49=c^{2}$
  $74=c^{2}$
12
計算式の両辺から平方根を取る　計算機を使用する方法が最も簡単です。手元に電卓が無ければオンラインの機能等を使ってみても良いでしょう。^{[16]
X
出典文献} 計算の結果、 $c$ $c$ の値を知ることができ、これが三角形の斜辺および長方形の対角線となります。
- 例：
  $74=c^{2}$
  ${\sqrt {74}}={\sqrt {c^{2}}}$
  $8.6024=c$
  つまり、面積35平方センチメートル、外周が24センチメートルの長方形の対角線の長さは約8.6センチメートルということになります。
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