関数の定義域を求める方法

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共著者 : Grace Imson, MA

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関数の定義域とは、ある関数に入力できる値の集合を意味します。別の言い方をすれば、定義域とは、任意の等式を成立させるxの値の集合です。yの取り得る値は、値域と呼ばれます。この記事を参考にして、様々な関数の定義域の求め方を学習しましょう。

方法 1

方法 1 の 6:

基本を理解する

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定義域とは、関数が値を出力できる入力値の集合として定義されます。言い換えれば、定義域とは、関数が値yを出力できる全ての入力値xです。
2
様々な関数の定義域を求める方法を理解する　定義域を求める最善の方法は、関数の種類によって異なります。以降のセクションで解説される各種関数について、以下の基本事項を確認しましょう。
- 分母に累乗根（ルート）や変数を持たない多項式関数：この種類の関数の定義域は、実数全体です。
- 分母に変数を持つ分数関数：定義域を求めるには、「分母 = 0」が成立するxの値を探して、これを除外します。
- 累乗根の中に変数を持つ関数：この種類の関数の定義域を求めるには、累乗根の中に「>0」という条件を設定して、これを満たすxの範囲を求めます。
- 自然対数（logまたはln）を含む関数 ：対数の括弧内に「>0」という条件を設定して、これを解きましょう。
- グラフ：グラフを確認して、xとして取り得る値を求めます。
- 関係：これは座標（x, y）の一覧です。定義域は、単純にx座標を一覧にしたものです。
3
定義域を正しく書く　定義域の適切な表記方法を覚えるのは簡単ですが、宿題や試験で減点されないためにも、正しく解答を書くことが重要です。関数の定義域を書く際に知っておくべきいくつかのポイントを以下で確認しましょう。
- 定義域の表記は、まず開き括弧（角括弧か丸括弧）で始まり、定義域の始点と終点をコンマで区切って書き、閉じ括弧（角括弧か丸括弧）で閉じます。
  - 例えば、[-1,5)は、定義域が1から5であることを意味します。
- 角括弧— [, ] — は、数字が定義域に含まれることを示します。
  - この [-1,5)の例では、-1は定義域に含まれます。
- 丸括弧— (, ) —は、数字が定義域に含まれないことを示します。
  - この[-1,5)の例では、5は定義域には含まれません。定義域の終点は、5未満であることを意味します（つまり、4.999…）。
- U（「結び」「和集合」の意）の記号を利用して、分断している定義域を繋げましょう。
  - 例として、 [-1,5) U (5,10]は、 5を除く-1から10の範囲を包括的に含むことを意味します。これは、例えば、分母が「x-5」である関数の定義域となるかもしれません。
  - 定義域に複数の分断がある場合は、必要に応じて「U」記号を何度使っても構いません。
- 定義域が正や負の方向に無限に広がっていることを表すには、無限大「∞」やマイナス無限大「-∞」の記号を利用しましょう。
  - 無限大の記号を利用する際は、[ ]ではなく、必ず( )を利用しましょう。
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方法 2

方法 2 の 6:

分数関数の定義域を求める

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1
問題を書く　ここでは、以下の問題を考えてみましょう。
- f(x) = 2x/(x² - 4)
2
分母に変数を持つ分数関数で、「分母=0」の等式を立てる　何かを0で割ることは不可能であるため、分数関数の定義域を求める際には、分母を0にするxの値を除外しなければなりません。以下のように行います。
- f(x) = 2x/(x² - 4)
- x² - 4 = 0
- (x - 2 )(x + 2) = 0
- x ≠ (2, - 2)
3
定義域を述べる　以下のように行います。
- xは、-2と2を除く全ての実数
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方法 3

方法 3 の 6:

平方根の関数の定義域を求める

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ここでは、次の問題を考えてみましょう：Y =√(x-7)。
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「平方根の中身≧0」となる不等式を立てる　0の平方根を取ることはできますが、負の数の平方根を取ることはできません。したがって、「平方根の中身≧0」となる不等式を立てます。この考え方は平方根だけでなく、偶数乗の累乗根全てに当てはまることに留意しましょう。しかし、奇数乗の累乗根は、中身が負の数でも成立するため、この考え方を適用することはできません。以下のように行います。
- x-7 ≧ 0
3
変数を分離する　この式で変数xのみを不等式の左側に分離するには、両辺に7を加えましょう。すると、以下のような式になります。
- x ≧ 7
4
定義域を正しく記述する　以下が正しい解答例です。
- D = [7,∞)
5
「平方根の中身=0」とする解が複数ある場合の定義域を求める　ここでは、次の関数を考えてみましょう：Y = 1/√( ̅x² -4)。分母を因数分解して、それが0となる等式を立てると、解は「x ≠ (2, - 2)」となります。ここから、以下の通りに問題を解いて行きます。
- -2よりも小さい値（例えば-3）を分母に代入したときに、分母が0以上になるかを確認します。代入してみると、以下の通り0以上になります。
  - (-3)² - 4 = 5
- -2から2までの値を代入してみましょう。ここでは、試しに0を代入してみます。
  - 0² - 4 = -4　となるため、-2から2の間にある数は、不適切であると判明しました。
- 2よりも大きい値（例えば3）を代入してみましょう。
  - 3² - 4 = 5　となるため、2よりも大きい値は、適切であることが判明しました。
- 確認が終わったら定義域を書きましょう。以下が定義域の記述例です。
  - D = (-∞, -2) U (2, ∞)
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方法 4

方法 4 の 6:

自然対数関数の定義域を求める

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問題を書く　ここでは、以下の問題を考えてみましょう。
- f(x) = ln(x-8)
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「括弧内＞0」となる不等式を立てる　自然対数は正の数でなければならないため、「括弧内＞0」という不等式を立てます。以下の通り行います。
- x - 8 > 0
3
不等式を解く　両辺に8を足して、変数xを分離します。以下の通り行います。
- x - 8 + 8 > 0 + 8
- x > 8
4
定義域を記述する　この等式の定義域は、無限大まで続く、8よりも大きな全ての実数であることを記述しましょう。以下のように記述します。
- D = (8,∞)
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方法 5

方法 5 の 6:

グラフで定義域を求める

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グラフに含まれるxの値を確認する　実際に定義域を求めるのは、言うほど簡単ではないかもしれませんが、以下のポイントを確認しましょう。
- 直線：±無限大の方向に伸びる直線であれば、結果的に「全ての」xが範囲に入るため、定義域は全ての実数となります。
- 通常の放物線：グラフが上または下に凸の放物線であれば、x軸上の全ての数が範囲に入るため、定義域は全ての実数となります。
- 横に凸の放物線：頂点（4,0）の横に凸の放物線が、右方向に無限大に広がっているならば、この定義域は、D = [4,∞)です。
確認したグラフの種類に基づいて、定義域を記述しましょう。定義域が不確かでも、直線の方程式が分かっているならば、実際に、任意のx座標を代入してみて、等式が成り立つかを確認してみましょう。

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方法 6

方法 6 の 6:

関係を利用して定義域を求める

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関係とは、xy座標の集合です。ここでは、次の関係を考えてみましょう：{(1, 3), (2, 4), (5, 7)}。
x座標は、1、2、5です。
D = {1, 2, 5}
関係が関数となるには、あるx座標に対して、常に同じy座標が対応しなければなりません。例えば、xが3のときには、yは常に6でなければならないということです。次の関係は、同じx座標に対して、2つの異なるy座標の値が対応しているため、関数ではありません：{(1, 4),(3, 5),(1, 5)}。^{[1]
X
出典文献}

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