3次多項式を因数分解する方法

2 パート:最低次数について整理する定数を用いる

この記事では3次多項式の因数分解を説明します。今回は最低次数の文字について整理する方法と定数の因数を使う方法を紹介しましょう。

パート 1
最低次数について整理する

  1. 1
    多項式を二つのグループに分けましょう。そうすると問題が解きやすくなります。
    • 例:x3 + 3x2 - 6x - 18 = 0
      これを(x3 + 3x2)と (- 6x - 18)に分けます。
  2. 2
    共通因数を見つけましょう。
    • (x3 + 3x2)を見ると、x2が共通しています。
    • (- 6x - 18)を見ると-6が共通しています。
  3. 3
    二つの項を共通因数でくくります。
    • x2でくくるとx2(x + 3)となります。
    • -6でくくると-6(x + 3) となります。
  4. 4
    二つの項に共通因数がある場合は一つにまとめることができます。
    • すなわち (x + 3)(x2 - 6) となります。
  5. 5
    根(こん)を見て解を見つけます。根号(ルート)の中にx2がある場合、正負両方の解が存在すると覚えておきましょう。
    • 解は -3、√6 、-√6となります。

パート 2
定数を用いる

  1. 1
    式を降べきの順に並べ替えて以下の形にします。
    aX3+bX2+cX+d
    • x3 - 4x2 - 7x + 10 = 0
      この式を例として解くとしましょう。
  2. 2
    「d」の因数をすべて見つけましょう。定数「d」は「x」を伴う他の項とは異なり、変数を持ちません。
    • 因数とはある数の約数です。この例の場合、10または「d」の因数は1、2、5、10となります。
  3. 3
    多項式イコール0になる因数を一つ見つけましょう。どの因数が多項式イコール0になるか、「x」に値を代入してみましょう。
    • まずは因数「1」から始めてみましょう。すべての「x」に「1」を代入してみましょう。
      例:(1)3 - 4(1)2 - 7(1) + 10 = 0
    • 1 - 4 - 7 + 10 = 0 となります。
    • 0 = 0なので、「1」は正解です。
  4. 4
    少し視点を変えてみましょう。x = 1の意味を変えずに、見た目だけ式を並べ替えてみましょう。
    • 「x = 1」は「x - 1 = 0」または「(x - 1)」と同じです。単にそれぞれの式から1を引いたことになります。
  5. 5
    残りの式を因数分解しましょう。「(x - 1)」は解です。ほかの因数も見てみましょう。そして多項式を一つずつ解いてみましょう。
    • x3は(x - 1)でくくることができるでしょうか? できません。しかし、二つ目の変数「-x2」を使えば、x2(x - 1) = x3 - x2となり、因数分解ができます。
    • 残りの2次変数は因数分解できるでしょうか? 残念ながらこれもできません。先ほどと同じように今度は三つ目の変数を使い、-7xから3xを拝借します。こうすることにより、-3x(x - 1) = -3x2 + 3xと因数分解できます。
    • -7xから3xを借りたので、三つ目の変数は-10xとなり、定数は10となります。これは因数分解できるでしょうか? -10(x - 1) = -10x + 10となるので因数分解できます。
    • つまり、全体を(x - 1)で因数分解できるように式を以下の形に変形したわけです。
      x3 - x2 - 3x2 + 3x - 10x + 10 = 0
      あくまでも形を変えただけであり、意味はx3 - 4x2 - 7x + 10 = 0と同じです。
  6. 6
    引き続き、定数の因数を用いて因数分解していきます。(x - 1)でくくったステップ5の式を見てみましょう。
    • x2(x - 1) - 3x(x - 1) - 10(x - 1) = 0です。これをさらに因数分解します。次のように整理すれば、はるかに簡単に作業できます。(x - 1)(x2 - 3x - 10) = 0
    • ここでは (x2 - 3x - 10)だけを因数分解します。因数は(x + 2)(x - 5)となります。
  7. 7
    解は根の値となります。元の式に根を一つずつ代入して、解が合っているかを確認することができます。
    • (x - 1)(x + 2)(x - 5) = 0なので1、-2、5が解であることを証明できました。
    • 元の式に-2を代入します。(-2)3 - 4(-2)2 - 7(-2) + 10 = -8 - 16 + 14 + 10 = 0
    • 同様に5を代入してみましょう。(5)3 - 4(5)2 - 7(5) + 10 = 125 - 100 - 35 + 10 = 0

ポイント

  • 3次多項式には必ず一つは実数解が存在するため、実数上で因数分解できない3次多項式はありません。x^3 + x + 1のように無理数の実数解を持つ3次多項式は、整数または有理数係数で因数分解できません。3次式では因数分解できますが、「整数」多項式としては既約となります。
  • 3次多項式は、三つの1次多項式の積または一つの1次多項式ともう一つの因数分解できない2次多項式の積です。後者では、まず1次多項式を見つけてから、長除法を用いて2次多項式を求めます。

記事の情報

カテゴリ: 数学

他言語版:

English: Factor a Cubic Polynomial, Español: factorizar un polinomio cúbico, Deutsch: Einen kubischen Polynom faktorieren, Português: Fatorar um Polinômio do 3º Grau, Italiano: Fattorizzare un Polinomio Cubico, Français: factoriser un polynôme du troisième degré, 中文: 因式分解三次多项式, Русский: разложить многочлен третьей степени на множители, Nederlands: Een derdegraads polynoom ontbinden in factoren, Bahasa Indonesia: Memfaktorkan Polinomial Pangkat Tiga, العربية: كيفية تحليل المعادلات متعددة الحدود من الدرجة الثالثة, ไทย: แยกตัวประกอบพหุนามกำลังสาม, Tiếng Việt: Phân tích nhân tử đa thức bậc ba

このページは 38 回アクセスされました。

この記事は役に立ちましたか?