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行列式は、微分積分や線型代数、高度な幾何学で頻繁に使用されます。行列式の計算は、最初はわかりにくいかもしれませんが、回数を重ねると簡単にできるようになります。
ステップ
パート 1 の 2:
行列式を求める
パート 1 の 2:
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13行3列の行列式を書きます。まずは、3行3列の行列Aを使って、行列式|A|を求めます。本記事で使用する一般的な行列の表記方法と、例として使用する行列は次のとおりです。[1]
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2行または列を1つ選びます。選んだものが基準となる行または列となります。選んだ行や列に関わらず、同じ解答を得られます。ここでは、ひとまず最初の行を選びましょう。後ほど、計算が簡単にできる行や列を選ぶ方法に関するコツを紹介します。[2]
- 行列Aの1列目を選びましょう。1 5 3を丸で囲みましょう。一般式では、a11 a12 a13を丸で囲みます。
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3最初の要素の行と列に線を引きます。丸で囲んだ行または列を見て、最初の要素を選びましょう。そして、最初の要素の行と列に線を引きます。すると、4つの数字が残るはずです。これを2行2列の行列として扱います。[3]
- 例では、1 5 3が基準となる行です。最初の要素は、1行目の1列目です。1行目と1列目に線を引きましょう。残りの要素を2行2列の行列として表記します。
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1 5 324 746 2
-
4
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5行列式に選んだ要素を掛けます。線を引く行と列を決めた時に、要素を基準となる行(または列)から選択したことを思い出しましょう。この要素に、計算した2行2列の行列式を掛けます。[6]
- 例では、値が1である要素a11を選択しました。これに-34(2行2列の行列式)を掛けて、1 × -34 = -34 となります。
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6余因子の符号を特定します。次に、先ほどの解に1または-1を掛けて、選んだ要素の「余因子」を求めます。3行3列の行列上の要素の場所によって、使用する符号が変わります。この簡単な符号の表を覚えて、どの要素がどの符号を使用するか判断しましょう。
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+ - +
- + -
+ - + - +となっているa11を選んだので、+1を掛けます(つまり、何もする必要がありません)。解は、-34のままです。
- (-1)i+jという式を使って、使用する符号を求めることもできます。「i」と「j」が要素の行と列です。[7]
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+ - +
-
7基準となる行または列の2つ目の要素に対しても、同じ手順を繰り返します。最初に行または列を丸で囲んだ、元の3行3列の行列に戻りましょう。次のように、要素に対して同じ手順を繰り返します。[8]
- 要素の行と列に線を引きましょう。例では、a12(値は5)の要素を選びます。1行目(1 5 3)と2列目に線を引きましょう。
- 残りの要素を2行2列の行列として扱います。例において、行列は、となります。
- この2行2列の行列の行列式を求めましょう。ad - bcの公式を使用します。(2×2 - 7×4 = -24)
- 3行3列の行列上の選んだ要素を掛けます。 -24 × 5 = -120
- -1を掛けるかどうか判断します。符号表か(-1)ijの公式を使用しましょう。ここでは、符号表で - となっている要素、a12を選択しました。よって、解の符号を変える必要があり、次のようになります。(-1)×(-120) = 120.
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83つ目の要素でも同じ手順を繰り返します。求める余因子は、もう1つあります。基準となる行または列の3つ目の余因子を計算します。例において、a13の余因子を計算する方法を要約すると次のとおりです。
- 1列目と3行目に線を引いて、行列を得ます。
- 行列式は、2*6 - 4*4 = -4となります。
- 要素a13を掛けて、-4 × 3 = -12となります。
- 要素a13は符号表で+なので、解は、-12です。
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93つの解をすべて足します。これが、最後のステップです。1つの行または列の各要素に対して、3つの余因子を計算できました。その3つの余因子を足し合わせると、3行3列の行列式を得られます。
- 例において、行列式は、-34 + 120 + -12 = 74となります。
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パート 2 の 2:
問題を簡単にする
パート 2 の 2:
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10が多い行または列を基準とします。「どの」行や列を基準としても構わないということを思い出しましょう。選んだ行や列に関わらず、同じ解答を得られます。0の行や列を選択すると、0ではない要素の余因子を計算するだけで済みます。理由は次のとおりです。[9]
- 要素a21、a22、そしてa23である2行目を選んだとしましょう。この問題を解くには、異なる3つの2行2列の行列に目を向けることになります。その3つをA21、A22、そしてA23としましょう。
- 3行3列の行列式は、a21|A21| - a22|A22| + a23|A23|です。
- a22とa23がどちらも0だとすると、式は、a21|A21| - 0*|A22| + 0*|A23| = a21|A21| - 0 + 0 = a21|A21|となります。計算する必要があるのは、1つの要素の余因子だけです。
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2行の加算を利用して、行列を簡単にします。ある行の値を取り出して、違う行に加えても、行列式は変わりません。列に関しても同じです。この手順を繰り返し行うか、加算する前に値に定数をかけて、行列の中にできる限り多くの0を作ります。これにより、ずいぶん時間を短縮できます。
- 例えば、次の3行3列の行列があるとします。
- a11の場所にある9を相殺するために、2行目の値に-3を掛けて、1行目に足します。新しい1行目の値は、[9 -1 2] + [-9 -3 0] = [0 -4 2]となります。
- 新しい行列は、です。同じ方法を使って、a12を0に変えてみましょう。
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3三角行列を使った早業を習得しましょう。この特別な行列の場合、行列式が単純に、左上のa11から右下のa33まで主対角線に沿った要素の積となります。同じ3行3列の行列ではありますが、「三角」行列には、「0ではない」値の特別な配置があります。[10]
- 上半三角行列:主対角線および主対角線より上にすべての0ではない値がある行列。主対角線より下はすべて0です。
- 下半三角行列:主対角線および主対角線より下にすべての0ではない値がある行列。
- 対角行列:主対角線上にすべての0ではない値がある行列(上記2つの行列の部分集合)。
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ポイント
- 紹介した方法は、どの大きさの平方行列にでも適用できます。例えば、4行4列の行列であれば、3行3列の行列を残して「線を引き」、3行3列の行列に対して、上記で解説した方法で行列式を計算します。手で計算すると、とても面倒臭いので注意しましょう!
- 行列すべての要素が0での場合、行列式は0です。
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出典
- ↑ https://www.mathsisfun.com/algebra/matrix-determinant.html
- ↑ https://math.oregonstate.edu/home/programs/undergrad/CalculusQuestStudyGuides/vcalc/deter/deter.html
- ↑ https://www.hec.ca/en/cams/help/topics/Matrix_determinants.pdf
- ↑ https://www.khanacademy.org/math/precalculus/precalc-matrices/inverting_matrices/v/finding-the-determinant-of-a-2x2-matrix
- ↑ https://people.richland.edu/james/lecture/m116/matrices/determinant.html
- ↑ https://www.purplemath.com/modules/minors.htm
- ↑ http://www.math.rutgers.edu/~cherlin/Courses/250/Lectures/250L12.html
- ↑ http://www.mathcentre.ac.uk/resources/uploaded/sigma-matrices9-2009-1.pdf
- ↑ https://www.hec.ca/en/cams/help/topics/Matrix_determinants.pdf
このwikiHow記事について
他言語版
Português:Achar a Determinante de uma Matriz 3X3
Русский:найти определитель матрицы 3Х3
Bahasa Indonesia:Menentukan Determinan Matriks 3X3
Nederlands:De determinant van een 3x3 matrix bepalen
Tiếng Việt:Tìm định thức ma trận 3x3
中文:求3X3矩阵的行列式
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