3行3列の行列式を求める方法

この記事には：行列式を求める問題を簡単にする

行列式は、微分積分や線型代数、高度な幾何学で頻繁に使用されます。行列式の計算は、最初はわかりにくいかもしれませんが、回数を重ねると簡単にできるようになります。

パート 1
行列式を求める

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3行3列の行列式を書きます。まずは、3行3列の行列Aを使って、行列式|A|を求めます。本記事で使用する一般的な行列の表記方法と、例として使用する行列は次のとおりです。
- $M={\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&5&3\\2&4&7\\4&6&2\end{pmatrix}}$
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行または列を1つ選びます。選んだものが基準となる行または列となります。選んだ行や列に関わらず、同じ解答を得られます。ここでは、ひとまず最初の行を選びましょう。後ほど、計算が簡単にできる行や列を選ぶ方法に関するコツを紹介します。
- 行列Aの1列目を選びましょう。1 5 3を丸で囲みましょう。一般式では、a₁₁ a₁₂ a₁₃を丸で囲みます。
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最初の要素の行と列に線を引きます。丸で囲んだ行または列を見て、最初の要素を選びましょう。そして、最初の要素の行と列に線を引きます。すると、4つの数字が残るはずです。これを2行2列の行列として扱います。
- 例では、1 5 3が基準となる行です。最初の要素は、1行目の1列目です。1行目と1列目に線を引きましょう。残りの要素を2行2列の行列として表記します。
- ~~1 5 3~~
  2 4 7
  4 6 2
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2行2列の行列の行列式を求めます。行列 ${\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}$ の行列式は、ad - bcであることを思い出しましょう。^[1]2行2列の行列にXを書いて、たすき掛けする計算方法として学んだかもしれません。左上の数字と右下の数字を掛け合わせます。そして、右上の数字と左下の数字を掛け合わせます。この計算式を使って、先ほどの2行2列の行列式を計算しましょう。
- 例において、行列式は、 ${\begin{pmatrix}4&7\\6&2\end{pmatrix}}$ = 4 * 2 - 7 * 6 = -34となります。
- この行列式は、元の行列で選んだ要素の「小行列式」と呼ばれます。^[2]ここでは、a₁₁の小行列式を求めたことになります。
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行列式に選んだ要素を掛けます。線を引く行と列を決めた時に、要素を基準となる行（または列）から選択したことを思い出しましょう。この要素に、計算した2行2列の行列式を掛けます。
- 例では、値が1である要素a₁₁を選択しました。これに-34（2行2列の行列式）を掛けて、1 × -34 = -34 となります。
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余因子の符号を特定します。次に、先ほどの解に1または-1を掛けて、選んだ要素の「余因子」を求めます。3行3列の行列上の要素の場所によって、使用する符号が変わります。この簡単な符号の表を覚えて、どの要素がどの符号を使用するか判断しましょう。
- + - +
  - + -
  + - +
- +となっているa₁₁を選んだので、+1を掛けます（つまり、何もする必要がありません）。解は、-34のままです。
- (-1)^i+jという式を使って、使用する符号を求めることもできます。「i」と「j」が要素の行と列です。^[3]
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基準となる行または列の2つ目の要素に対しても、同じ手順を繰り返します。最初に行または列を丸で囲んだ、元の3行3列の行列に戻りましょう。次のように、要素に対して同じ手順を繰り返します。
- 要素の行と列に線を引きましょう。例では、a₁₂（値は5）の要素を選びます。1行目（1 5 3）と2列目 ${\begin{pmatrix}5\\4\\6\end{pmatrix}}$ に線を引きましょう。
- 残りの要素を2行2列の行列として扱います。例において、行列は、 ${\begin{pmatrix}2&7\\4&2\end{pmatrix}}$ となります。
- この2行2列の行列の行列式を求めましょう。ad - bcの公式を使用します。(2×2 - 7×4 = -24)
- 3行3列の行列上の選んだ要素を掛けます。 -24 × 5 = -120
- -1を掛けるかどうか判断します。符号表か(-1)^ijの公式を使用しましょう。ここでは、符号表で - となっている要素、a₁₂を選択しました。よって、解の符号を変える必要があり、次のようになります。(-1)×(-120) = 120.
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3つ目の要素でも同じ手順を繰り返します。求める余因子は、もう1つあります。基準となる行または列の3つ目の余因子を計算します。例において、a₁₃の余因子を計算する方法を要約すると次のとおりです。
- 1列目と3行目に線を引いて、行列 ${\begin{pmatrix}2&4\\4&6\end{pmatrix}}$ を得ます。
- 行列式は、2*6 - 4*4 = -4となります。
- 要素a₁₃を掛けて、-4 × 3 = -12となります。
- 要素a₁₃は符号表で+なので、解は、-12です。
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3つの解をすべて足します。これが、最後のステップです。1つの行または列の各要素に対して、3つの余因子を計算できました。その3つの余因子を足し合わせると、3行3列の行列式を得られます。
- 例において、行列式は、-34 + 120 + -12 = 74となります。

パート 2
問題を簡単にする

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0が多い行または列を基準とします。「どの」行や列を基準としても構わないということを思い出しましょう。選んだ行や列に関わらず、同じ解答を得られます。0の行や列を選択すると、0ではない要素の余因子を計算するだけで済みます。理由は次のとおりです。
- 要素a₂₁、a₂₂、そしてa₂₃である2行目を選んだとしましょう。この問題を解くには、異なる3つの2行2列の行列に目を向けることになります。その3つをA₂₁、A₂₂、そしてA₂₃としましょう。
- 3行3列の行列式は、a₂₁|A₂₁| - a₂₂|A₂₂| + a₂₃|A₂₃|です。
- a₂₂とa₂₃がどちらも0だとすると、式は、a₂₁|A₂₁| - 0*|A₂₂| + 0*|A₂₃| = a₂₁|A₂₁| - 0 + 0 = a₂₁|A₂₁|となります。計算する必要があるのは、1つの要素の余因子だけです。
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行の加算を利用して、行列を簡単にします。ある行の値を取り出して、違う行に加えても、行列式は変わりません。列に関しても同じです。この手順を繰り返し行うか、加算する前に値に定数をかけて、行列の中にできる限り多くの0を得ることができます。これにより、多くの時間が節約できます。
- 例えば、次の3行3列の行列があるとします。 ${\begin{pmatrix}9&-1&2\\3&1&0\\7&5&-2\end{pmatrix}}$
- a₁₁の場所にある9を相殺するために、2行目の値に-3を掛けて、1行目に足します。新しい1行目の値は、[9 -1 2] + [-9 -3 0] = [0 -4 2]となります。
- 新しい行列は、 ${\begin{pmatrix}0&-4&2\\3&1&0\\7&5&-2\end{pmatrix}}$ です。同じトリックを使って、a₁₂を0に変えてみましょう。
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三角行列を使った早業を習得しましょう。この特別な行列の場合、行列式が単純に、左上のa₁₁から右したのa₃₃まで主対角線に沿った要素の積となります。同じ3行3列の行列ではありますが、「三角」行列には、「0ではない」値の特別な配置があります。^[4]
- 上半三角行列：主対角線および主対角線より上にすべての0ではない値がある行列。主対角線より下はすべて0です。
- 下半三角行列：主対角線および主対角線より下にすべての0ではない値がある行列。
- 対角行列：主対角線上にすべての0ではない値がある行列（上記2つの行列の部分集合）。