3行3列の行列式を求める方法

2 パート:行列式を求める問題を簡単にする

行列式は、微分積分や線型代数、高度な幾何学で頻繁に使用されます。行列式の計算は、最初はわかりにくいかもしれませんが、回数を重ねると簡単にできるようになります。

パート 1
行列式を求める

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    3行3列の行列式を書きます。まずは、3行3列の行列Aを使って、行列式|A|を求めます。本記事で使用する一般的な行列の表記方法と、例として使用する行列は次のとおりです。
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    行または列を1つ選びます。選んだものが基準となる行または列となります。選んだ行や列に関わらず、同じ解答を得られます。ここでは、ひとまず最初の行を選びましょう。後ほど、計算が簡単にできる行や列を選ぶ方法に関するコツを紹介します。
    • 行列Aの1列目を選びましょう。1 5 3を丸で囲みましょう。一般式では、a11 a12 a13を丸で囲みます。
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    最初の要素の行と列に線を引きます。丸で囲んだ行または列を見て、最初の要素を選びましょう。そして、最初の要素の行と列に線を引きます。すると、4つの数字が残るはずです。これを2行2列の行列として扱います。
    • 例では、1 5 3が基準となる行です。最初の要素は、1行目の1列目です。1行目と1列目に線を引きましょう。残りの要素を2行2列の行列として表記します。
    •  1  5 3
       2  4 7
       4  6 2
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    2行2列の行列の行列式を求めます。行列の行列式は、ad - bcであることを思い出しましょう。[1]2行2列の行列にXを書いて、たすき掛けする計算方法として学んだかもしれません。左上の数字と右下の数字を掛け合わせます。そして、右上の数字と左下の数字を掛け合わせます。この計算式を使って、先ほどの2行2列の行列式を計算しましょう。
    • 例において、行列式は、 = 4 * 2 - 7 * 6 = -34となります。
    • この行列式は、元の行列で選んだ要素の「小行列式」と呼ばれます。[2]ここでは、a11の小行列式を求めたことになります。
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    行列式に選んだ要素を掛けます。線を引く行と列を決めた時に、要素を基準となる行(または列)から選択したことを思い出しましょう。この要素に、計算した2行2列の行列式を掛けます。
    • 例では、値が1である要素a11を選択しました。これに-34(2行2列の行列式)を掛けて、1 × -34 = -34 となります。
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    余因子の符号を特定します。次に、先ほどの解に1または-1を掛けて、選んだ要素の「余因子」を求めます。3行3列の行列上の要素の場所によって、使用する符号が変わります。この簡単な符号の表を覚えて、どの要素がどの符号を使用するか判断しましょう。
    • + - +
      - + -
      + - +
    • +となっているa11を選んだので、+1を掛けます(つまり、何もする必要がありません)。解は、-34のままです。
    • (-1)i+jという式を使って、使用する符号を求めることもできます。「i」と「j」が要素の行と列です。[3]
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    基準となる行または列の2つ目の要素に対しても、同じ手順を繰り返します。最初に行または列を丸で囲んだ、元の3行3列の行列に戻りましょう。次のように、要素に対して同じ手順を繰り返します。
    • 要素の行と列に線を引きましょう。例では、a12(値は5)の要素を選びます。1行目(1 5 3)と2列目に線を引きましょう。
    • 残りの要素を2行2列の行列として扱います。例において、行列は、となります。
    • この2行2列の行列の行列式を求めましょう。ad - bcの公式を使用します。(2×2 - 7×4 = -24)
    • 3行3列の行列上の選んだ要素を掛けます。 -24 × 5 = -120
    • -1を掛けるかどうか判断します。符号表か(-1)ijの公式を使用しましょう。ここでは、符号表で - となっている要素、a12を選択しました。よって、解の符号を変える必要があり、次のようになります。(-1)×(-120) = 120.
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    3つ目の要素でも同じ手順を繰り返します。求める余因子は、もう1つあります。基準となる行または列の3つ目の余因子を計算します。例において、a13の余因子を計算する方法を要約すると次のとおりです。
    • 1列目と3行目に線を引いて、行列を得ます。
    • 行列式は、2*6 - 4*4 = -4となります。
    • 要素a13を掛けて、-4 × 3 = -12となります。
    • 要素a13は符号表で+なので、解は、-12です。
  9. 9
    3つの解をすべて足します。これが、最後のステップです。1つの行または列の各要素に対して、3つの余因子を計算できました。その3つの余因子を足し合わせると、3行3列の行列式を得られます。
    • 例において、行列式は、-34 + 120 + -12 = 74となります。

パート 2
問題を簡単にする

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    0が多い行または列を基準とします。「どの」行や列を基準としても構わないということを思い出しましょう。選んだ行や列に関わらず、同じ解答を得られます。0の行や列を選択すると、0ではない要素の余因子を計算するだけで済みます。理由は次のとおりです。
    • 要素a21、a22、そしてa23である2行目を選んだとしましょう。この問題を解くには、異なる3つの2行2列の行列に目を向けることになります。その3つをA21、A22、そしてA23としましょう。
    • 3行3列の行列式は、a21|A21| - a22|A22| + a23|A23|です。
    • a22とa23がどちらも0だとすると、式は、a21|A21| - 0*|A22| + 0*|A23| = a21|A21| - 0 + 0 = a21|A21|となります。計算する必要があるのは、1つの要素の余因子だけです。
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    行の加算を利用して、行列を簡単にします。ある行の値を取り出して、違う行に加えても、行列式は変わりません。列に関しても同じです。この手順を繰り返し行うか、加算する前に値に定数をかけて、行列の中にできる限り多くの0を得ることができます。これにより、多くの時間が節約できます。
    • 例えば、次の3行3列の行列があるとします。
    • a11の場所にある9を相殺するために、2行目の値に-3を掛けて、1行目に足します。新しい1行目の値は、[9 -1 2] + [-9 -3 0] = [0 -4 2]となります。
    • 新しい行列は、です。同じトリックを使って、a12を0に変えてみましょう。
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    三角行列を使った早業を習得しましょう。この特別な行列の場合、行列式が単純に、左上のa11から右したのa33まで主対角線に沿った要素の積となります。同じ3行3列の行列ではありますが、「三角」行列には、「0ではない」値の特別な配置があります。[4]
    • 上半三角行列:主対角線および主対角線より上にすべての0ではない値がある行列。主対角線より下はすべて0です。
    • 下半三角行列:主対角線および主対角線より下にすべての0ではない値がある行列。
    • 対角行列:主対角線上にすべての0ではない値がある行列(上記2つの行列の部分集合)。

ポイント

  • 紹介した方法は、どの大きさの平方行列にでも適用できます。例えば、4行4列の行列であれば、3行3列の行列を残して「線を引き」、3行3列の行列に対して、上記で解説した方法で行列式を計算します。手で計算すると、とても面倒臭いので注意しましょう!
  • 行列すべての要素が0での場合、行列式は0です。

記事の情報

カテゴリ: 学び・コミュニケーション

他言語版:

English: Find the Determinant of a 3X3 Matrix, Español: encontrar el determinante de una matriz 3x3, Deutsch: Die Determinante einer 3x3 Matrix ermitteln, Português: Achar a Determinante de uma Matriz 3X3, Italiano: Calcolare il Determinante di una Matrice 3 x 3, Русский: найти определитель матрицы 3Х3, Français: calculer le déterminant d'une matrice 3 x 3, Bahasa Indonesia: Menentukan Determinan Matriks 3X3, Nederlands: De determinant van een 3x3 matrix bepalen, ไทย: หาดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์มิติ 3x3, Tiếng Việt: Tìm định thức ma trận 3x3, Türkçe: 3X3 Matrisin Determinantı Nasıl Bulunur

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